已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- .(1)求证:f(x)在R上

Question

已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- .(1)求证:f(x)在R上是减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

Answer 1

(1)见解析  (2) 最大值为2,最小值为-2

(1)方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x). 在R上任取x 1 >x 2 ,则x 1 -x 2 >0, f(x 1 )-f(x 2 )=f(x 1 )+f(-x 2 )=f(x 1 -x 2 ). 又∵x>0时,f(x)<0,而x 1 -x 2 >0, ∴f(x 1 -x 2 )<0, 即f(x 1 )<f(x 2 ). 因此f(x)在R上是减函数. 方法二:设x 1 >x 2 , 则f(x 1 )-f(x 2 ) =f(x 1 -x 2 +x 2 )-f(x 2 ) =f(x 1 -x 2 )+f(x 2 )-f(x 2 ) =f(x 1 -x 2 ). 又∵x>0时,f(x)<0,而x 1 -x 2 >0, ∴f(x 1 -x 2 )<0, 即f(x 1 )<f(x 2 ), ∴f(x)在R上为减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)="3f(1)=-2,f" (-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.