自动控制原理中根轨迹法用试探法求分离点的方程怎么解啊

Answer 1

楼主你好，以下是我个人对此问题的看法：
根轨迹中，分离点和汇合点的方程可以由A‘(s)B(s)-A(s)B'(s)=0给出,其中A、B为G的分子、分母多项式.
这是一个关于s的多次方程
在解这个方程的时候，由代数方程的知识，如果该方程为3、4次，求解公式会很繁琐，如果是5次及以上的方程，则不存在统一的求根公式
因此在此方程大于等于3次的时候，我们采用试根的方法。
依据为零点定理：如果函数f在[a，b]上连续，且f(a)*f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)上至少有一根
说白了,就是高数里的2分法

如果嫌麻烦,可以购买具有解高次方程功能的计算器,或者使用Matlab等工具进行求解

追问

首先感谢你的回答，我看了后还是有些雾里看花的感觉，不过有些东西我明白了，可是试根的方法，你具体也没讲啊，怎样去试根

追答

正好找到了一道题目,以这个为例,其实试探法就在于:

2s^3+20s^2+50s+30=0 求解上述方程,得到 s1=-6.5171,...

这一步

对于f(s)=2s^3+20s^2+50s+30这个函数,显然s>0时f(s)>0,f(0)=30>0

因此取若干个s<0研究

s=-1 f=-2

s=-2 f=-6

s=-3 f=6

s=-4 f=22

s=-5 f=30

s=-6 f=18

s=-7 f=-26

至此,可以判断方程f(s)=0在[-1,0]、[-2,-1]、[-7,-6]上各有一根

拿[-1,0]上的根来讲,计算f(0)=30,f(-0.5)=9.75,f(-1)=-2

因此进一步判断这个根在(-1,-0.5)上,

我们可以继续再取-0.75进行验证,依此类推,只要经过足够多的步数,就可以使求得的根足够精确,这就是二分法的思想.

此外,也可以用计算器算-0.9、-0.8、...,-0.1处的函数值,再依据趋势进行微调,直到得到有一定精度的根