若正实数X,Y满足条件X+Y+2XY=4，则X+2Y的最小值为 _____

Question

若正实数X,Y满足条件X+Y+2XY=4，则X+2Y的最小值为
_____

Answer 1

由X+Y+2XY=4得x=(4-y)/(1+2y)
x+2y=(4-y)/(1+2y)+2y
对上式右边作线性变换：1+2y=t
得x+2y=(9-t)/t/2+t-1=t+4.5/t-1.5=(√(4.5/t)-√t)^2+2√4.5-1.5
所以x+2y的最小值是3√2-1.5

Answer 2

若x、y∈R+,则
x+y+2xy＝4
→y＝(4-x)/(1+2x)>0→x<4;
同理，y<4.
∴x+2y
＝2y+(4-y)/(1+2y)
＝(1+2y)+9/[2(1+2y)]-3/2
≥2√[(1+2y)·9/2(1+2y)]-3/2
＝(-3+6√2)/2,
取等时，
1+2y＝9/[2(1+2y)]→y＝(-2+9√2)/4 (显然小于4)
故所求最小值为：(x+2y)|min＝(-3+6√2)/2.

Answer 3

由题设条件，得到X=(4-Y)/(1+2Y)
∴ X+2Y =( 4+Y+4Y^2 )/(1+2Y)
=( 2Y+1 ) + 9/2(2Y+1) -3/2
>= 3*根号2 -3/2（当且仅当 2Y+1= 9/2(2y+1)时取“=”）
∴ (X+2Y)min =3*根号2 -3/2