不定积分(e^x)/(x^2)

Answer 1

解析：

∫e^(-x^2)dx=(-1/2)∫de^(-x^2)/x

=(-1/2)e^(-x^2)/x -(1/2)∫e^(-x^2)dx/x^2

=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3+(1/4)∫e^(-x^2)d(1/x^3)

=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)∫e^(-x^2)d(1/x^4)
x^2

=t   ∫e^(-x^2)d(1/x^4)

=∫e^(-t)d(1/t^2)=e^(-t)/t^2+∫e^(-t)dt/t^2

=e^(-t)/t^2-e^(-t)/t-∫e^(-t)dt/te^x

=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+..+x^n/n!e^(-t)

=1+(-t)+(-t)^2/2!+(-t)^3/3!+..+(-t)^n/n!

∫e^(-t)dt/t=lnt-t -t^2/(2*2!)-t^3/(3*3!)-..-t^n/(n*n!)

所以∫e^(-x^2)dx=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)e^(-x^2)/x^4-(1/8)e^(-x^2)/x^2-(1/8)[ln(x^2)-x^2-(x^2)^2/(2*2!)-(x^2)^3/(3*3!)-..-(x^2)^n/(n*n!)]

扩展资料：

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数。因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

∫e^x/x^2dx=∫e^xd(-1/x)=-e^x/x+∫e^x/xdx，而∫e^x/xdx无法表示为初等函数（证明见图），所以原积分也无法表示为初等函数。

Answer 3

你好！

数学之美团为你解答

原函数不能用初等函数表示

可展开为幂级数逐项积分

e^x / x² = 1/x² + 1/x + 1/2 + 1/3! x + 1/4! x² +……

∫ e^x / x² dx = - 1/x + ln|x| +1/2 x + 1/12 x² + 1/72 x³ +……