数列中的构造法求通项的问题

Question

在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1），求数列{an}的通项an
老师说此题用“构造法”将原数列an的递推公式a(n+1)=2an+3构造一下，
感觉这样子构造很突然，就是想不到为什么碰到这种类型这样变一下就可以构造是新的特殊数列了，谁能帮我解释一下，这样子构造是怎么想到的

Answer 1

原则方法：
an+1=qan+p 变为an+1(下角标）+m=q(an+m)
则qm-m=p m=p/(q-1)

构造数列{an+3}
a(n+1)+3=2(an+3)
设bn=an+3
则：b（n+1）=2bn
这是一个等比数列
bn=b1*2^(n-1)
b1=a1+3=4
所以bn=2^(n+1)
2^(n+1)=an+3
an=2^(n+1)-3
这就是数列的构造法
其实本题还可以如此构造数列
令等式两边同时除以2^(n+1)
则a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+3/2^(n+1)
构造bn=an/2^n
则
b(n+1)=bn+3/2^(n+1)
这个便是类等差数列，可以累和计算

Answer 2

1、把an前面的系数提取出来，并把数字字母化，使两边成为含字母的等比数列，如题化成： a(n+1)+k=2(an+k)；
2、一边化成与原式相同格式，如题只化右边，变成：a(n+1)+k=2an+2k
3、把字母移项，令与原式相等，并求出求知数，如：2an+k=2an+3→k=3
4、将k=3代入，可得：a(n+1)+3=2(an+3)
5、得出通项公式，如题：数列{an+3}是以首项为4,公比为2的等比数列，所以an+3=4*2^(n-1)→an=4*2^(n-1)-3

Answer 3

一般最好的方法就是做差法
设A(n)是一个数列的通项公式
那么我们可以用A(n+1)-A(n)=d
通过观察d来判断通项公式的形式
如果d是常数，那么A(n)是等差数列
如果d是等差数列，那么A(n)是等差数列的前n项和
如果d是等比数列，那么A(n)是等比数列或者等比数列前n项和

有时这些A(n)还会加上一个常数，来干扰我们的判断，相对于观察法
可以快速准确的判断数列的类型
这时候我们用这种方法，可以快速判断出A(n)是什么类型的数列

Answer 4

如果递推式是线性的
可以用不动点法

a（n+1）=2an+3 对应

x=2x+3

解出x=-3 所以不动点是-3
那么就构造成x+3的形式
有（a（n+1）+3）=2（an+3）

在举个例子，要做
a（n+1)=3an-2
对应x=3x-2
so x=1

so (a（n+1)-1)=3(an-1)

没有什么好不好理解的。
简单说就是“以不变应万变”
如果对一个函数f，
有f（x0）=x0， 那么就称其为不动点。
这样的好处是不管f迭代多少次，其值都是x0
不动点的应用很多，一时是讲不清的，如果有条件，你可以借相关的书看看。