为什么八国联军没有火烧故宫

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这是有原因的。
英法联军统帅之一的额尔金先是准备烧毁紫禁城，，也就是包裹故宫在内的皇宫一切，后来他经过几天深思熟虑，选择了圆明园为报复行动的目标。额尔金决定烧毁圆明园，而不是紫禁城，另有深意。额尔金认为紫禁城是中国政府所在地（当时英法正与清政府方谈判《北京条约》）；而圆明园是皇家园林，为中国皇帝私有。额尔金想通过烧毁圆明园传递这样一个信息：应该为逮捕公使和劣待俘虏等暴行负责的是中国皇帝和他的走卒，而不是中国老百姓。报复行动的前几天，额尔金命令在北京全城张贴如下公告，宣示英法联军火烧圆明园的目的：“任何人——哪怕地位再高——犯下欺诈和暴行以后，都不能逃脱责任和惩罚；圆明园将于(1860年10月)18日被烧毁，作为对中国皇帝背信弃义的惩罚；只有清帝国政府应该对此负责，与暴行无关的百姓不必担心受到伤害。”(译自英文)

大家都知道，皇帝逃走之后，其实还有恭亲王留在京城，和联军谈判，和联军谈判的主要目的是要通商。而清政府的主要目的是保住政权，保住皇位，要是北京里面的皇宫都被烧了，拿这个判就不用谈了。
再者，要是皇宫被烧了，也就是等于宣布清政府的灭亡，英法联军是很强，但是还有其他的列强啊，他们会答应英法联军独吞中国吗，其实他们恐怕也吞不下去的。
而要在中过经商做生意，那还是要靠中国任自己的统治者，也就是要把清政府作为他的代理人，否则是做不下去的。经商才是他们的最终目的，一切列强都是如此（但是我觉得俄国人似乎不一样，他们是对土地比较感兴趣一点）。
至于说故宫有重兵把手，那些重兵，对于联军来说，不过是小菜罢了，我到紫禁城里面放一把火，护城河只能够保证放火之后，可能不会烧到紫禁城之外来。