一个有关广义积分收敛性判别的问题

Question

这面这个例题是用上面的判别法来做的，我不明白 k 怎么算出来的是1/2？其实我是不太懂这个判别法中的 k 指的是什么？怎么算出它的值？

Answer 1

这里的k不是算出来的啊！因为原式里面有一项是根号下(x-1)，而1/(x+1)很容易就可以判别出他的收敛性。所以取了一个k=1/2，这里的k需要根据具体的题目具体来取的。至于你说的k的意义，这里可以看做是运用了比较审敛法，f(x)/[1/(x-a)^k]，在k>=1，x无限趋近于a的时候，1/(x-a)^k的极限实际上是无穷的。所以f(x)是发散的，而k<=1的时候，1/(x-a)^k是趋近于1的，有极限，所以f(x)是收敛的。这里的k个人认为不是算出来的，而是你看到具体的题目，怎么选择k可以让原式收敛或者发散。靠的是你对基本极限式的积累和感觉~

追问

还是不太懂，要是k可以自己看着取，那这题如果我取k=1，极限=0，这时候k>=1了，我能就说这个积分发散了？这好像有点荒唐了，那岂不成了我想让他收敛就收敛，让他发散就发现了，题目不就没意义了

追答

首先我想问问你，你看的这部分是在哪一章出现的。是无穷积分还是瑕积分？

如果这本书只有广义积分，然后给你一个判别法，我只能说，这本书的严谨性缺失很大。

就这个题目来说，它是瑕积分，在x=1的这个点，f(x)存在断点。这本书只告诉你判别方法，但是没告诉你，对于M0，瑕积分判别法其实是有要求的。

这是瑕积分判别法的具体内容。

无论你取什么k值，M0=0的时候，说明的是f(x)与(x-a)^k是同敛态。就是说，M0=0的时候，(x-a)^k收敛，f(x)就收敛；(x-a)^k发散，f(x)就发散。

你举得例子，k=1，M0=0,这时候很明显x-1是收敛的，所以f(x)就是收敛的。

我的截图节选自华东师范大学的《数学分析》第三版瑕积分那一章，M0=0的情况证明比较复杂，我就不打上来了，如果你想知道原因，可以看看上面那本书。