通过三个点的坐标求出三角形面积的公式

Question

据说在台湾和香港的教科书上都有这个公式的~~~~~但是我找不到~~~~~
有没有一种公式是直接由坐标求出三角形面积的????

Answer 1

当三个点A、B、C的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3、y3)时，三角形面积为，

S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。

解：设三个点A、B、C的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3、y3)。

那么A、B、C三点可围成一个三角形。AC与AB边的夹角为∠A。

那么向量AB=(x2-x1，y2-y1)、向量AC=(x3-x1，y3-y1)。

令向量AB=a，向量AC=b，

则根据向量运算法则可得，

|a·b|=|a|·|b|·|cosA|，

那么cosA=|a·b|/(|a|·|b|)，则sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)/(|a|·|b|)。

那么三角形的面积S=|a|·|b|·sinA=√((|a|·|b|)^2-(|a·b|)^2)

又a·b=(x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1)，

那么可得三角形的面积S=(x1y2-x1y3+x2y3-x2y1+x3y1-x2y2)。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源：百度百科-向量

参考资料来源：百度百科-正弦定理

Answer 2

这个公式是：S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1) =1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]。

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 

由A-->B-->C-->A 按逆时针方向转。(行列式书写要求） 设三角形的面积为S ，则S=（1/2)*(下面行列式） 

|x1 y1 1| 

|x2 y2 1| 

|x3 y3 1| 

S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1) 

即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为: S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)。

拓展资料：

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。

Answer 3

答：有。在平面解析几何会学到，即：
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
由A-->B-->C-->A 按逆时针方向转。(行列式书写要求）
设三角形的面积为S
则S=（1/2)*(下面行列式）
|x1 y1 1|
|x2 y2 1|
|x3 y3 1|
S=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1)
即用三角形的三个顶点坐标求其面积的公式为:
S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)

Answer 4

1、三角形面积公式 S= (L1*L2*sinα)/2
2、sinα = (1-cosα^2)^1/2
3、向量a(x1, y1)，b(x2, y2)夹角公式 cosα = ab/(L1*L2)
夹角余弦值=向量点乘 /（向量长度相乘）
4、sinα= (1-cosα^2)^1/2 = (1 - (ab/(L1*L2))^2 )^1/2 = ((L1*L2)^2 - (ab)^2)^1/2 / (L1L2) = ((x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2) - (x1x2+y1y2)^2)^1/2 / (L1*L2) = (x1^2*y2^2+y2^2*x1^2-2x1y1x2y2)^1/2 / (L1*L2) = |(x1y2-x2y1)| / (L1*L2)
5、S = (L1*L2*sinα)/2 = |(x1y2-x2y1)|/2
6、上式中 x1 x2 y1 y2 都是向量分量值，是建立在 三角形其中一个顶点已经移到了原点（0,0）的基础上的。对于更一般的形式
三角形三个顶点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)
向量a(x1-x3, y1-y3),b(x2-x3, y2-y3)
代回到5中的式子，S = |(x1-x3)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y3)|/2
但是个人觉得记住这个复杂的式子没有意义，还是理解并记住向量形式的表示，也就是5中的式子就可以了
实际上我们来看平面坐标系里的两个向量
a(x1, y1)，b(x2, y2)
列成矩阵形式
|x1 y1|
|x2 y2|
这个 2*2 矩阵的行列式的绝对值就是 |x1y2-x2y1|，这就是以 a,b 为两条边的平行四边形的面积，自然以 a,b 为两条边的三角形面积就是 |(x1y2-x2y1)|/2 了
更多地，我们来看三维空间坐标系里的三个向量
a(x1, y1, z1)，b(x2, y2, z2)，c(x3, y3, z3)
列成矩阵形式
|x1 y1 z1|
|x2 y2 z2|
|x3 y3 z3|
这个 3*3 矩阵的行列式的绝对值就是 |x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-z1y2x3-z2y3x1-z3y1x2|，这就是以 a,b,c 为边的平行六面体（盒子）的体积
所以求空间中（更高维空间也可以）的“盒子”体积的方法就是求矩阵的行列式的绝对值（当然，“盒子”得是在高维空间中满维度的，例如二维空间中必须是个平行四边形，不能是直线；三维空间中必须是个平行六面体，不能是二维平面）
反过来看二维空间三角形面积求法，是可以通过矩阵行列式轻松求得的，比起用三角函数会简单很多。

Answer 5

简单计算一下，答案如图所示