求x=a（t-sint），y=a（1-cost），0≤t≤2π绕x轴和y轴旋转成的曲面的面积

Answer 1

x' = a(1-cost)
y' = a sint
ds = √ (x'^2+y'^2) dt
Area = ∫ [0,2π] 2π y ds
可以完成了吗？

Answer 2

绕x轴:V=∫(0,2π)πy²dx=π∫(0,2π)[a(1-cost)²d[a(t-sint)]

           =a²π∫(0,2π)(1-cost)³dt

           =a²π(2.5x-4sinx+¾sin2x+⅓sin³x)|(0,2π)

           =5a²π²

绕y轴:V=∫(2π,π)πx²dy(曲面圆台)-∫(0,π)πx²dy(曲面圆锥)

           =∫(2π,π)[a(t-sint)²d[a(1-cost)]-∫(0,π)[a(t-sint)²d[a(1-cost)]

           =a²π∫(2π,π)(t-sint)²sintdt-a²π∫(0,π)(t-sint)²sintdt

Ⅰ=∫(t-sint)²sintdt=-t²·cost+2tsint+cost-½t²+tsintcost+¼cos2t+⅓·cos³t+C

代入积分限即可。