求摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost），0≤t≤2π．与x轴所围成图形绕y轴旋转

Question

求摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost），0≤t≤2π．与x轴所围成图形绕y轴旋转所的旋转体的体积．

Answer 1

首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：dS=2πxdx

圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx

又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt

S＝∫[0≤t≤2π]a(1-cost)d[a(t-sint)]

＝a²∫[0,2π]｛（1-cost）²｝dt

＝a²[t+t/2+（sin2t）/4+2sint]|[0,2π]值差

＝3a²π（面积单位）

基本原理

摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。

有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。

Answer 2

先画草图，再求积分，答案如图所示

Answer 3

　
　首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：
dS=2πxdx，
圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt
将x，y参数方程代入得：
dV=2π[a（t-sint）][a（1-cost）][a（1-cost）dt]=2πa3（t-sint）（1-cost）2dt
∴V＝
∫
2π
0

2πa3(t−sint)(1−cost)2dt
作变换u=t-π，则 t=u+π，dt=du，
原积分变为：
V＝
∫
π
−π

2πa3[(u+π)−sin(u+π)]•[1−cos(u+π)]2du
=2πa3
∫
π
−π

[π+（u+sinu）]（1+cosu）2du
=2π2a3
∫
π
−π

(1+cosu)2du+
2πa3∫
π
−π

(u+sinu)(1+cosu)2du
上式积分的第二部分被积函数 （u+sinu）（1+cosu）2为奇函数，因此在[-π，π]上，积分为0
∴V＝2π2a3
∫
π
−π

(1+cosu)2du=2π2a3
∫
π
−π

(1+2cosu+cos2u)du
=4π2a3+4π2a3
∫
π
−π

cosudu+π2a3
∫
π
−π

(1+cos2u)du
=4π2a3−4π2a3sinu
|
π
−π

+2π2a3−
1
2
π2a3sin2u
|
π
−π

=6π2a3