设x为连续型随机变量，密度函数为f(x)=3/2•(x)^2(-1<x<1),Y=x^2

Question

x和y相互独立吗？为什么，谢谢！

Answer 1

对概率密度函数积分就可以得到分布函数，
当x<0时，
f(x)=1/2*e^x
故分布函数
f(x)
=∫(上限x，下限-∞)
1/2
*e^x
dx
=1/2
*e^x
[代入上限x，下限-∞]
=1/2
*e^x
当x>=0时，
f(x)=1/2*e^(-x)
故分布函数
f(x)
=f(0)+
∫(上限x，下限0)
1/2
*e^(-x)
dx
=f(0)
-
1/2
*e^(-x)
[代入上限x，下限0]
=f(0)
-
1/2
*e^(-x)
+1/2
而f(0)=1/2
故f(x)=1
-1/2
*e^(-x)
所以
f(x)=
1
-1/2
*e^(-x)
x>=0
1/2
*e^x
x<0

Answer 2

解：
E（Y）=E（e^X)
=∫（0到2）【xe^x/4】dx
=1/4∫（0到2）【xe^x】dx
=1/4∫（0到2）【x】de^x
=1/4xe^x|（0到2）-1/4∫（0到2）【e^x】dx
=e2/2-1/4(e2-e^0)
=e2/4+1/4
D(Y)可能下一周才学呀，让我看看书先有公式
D（X）=E（X2）-[E(X)]2
于是
D（Y）=E(
Y2
)-[E(Y)]2=E{(e^x)2}-[E(Y)]2=E(e^2x)-[E(Y)]2
求E(e^2x)
E(e^2x)=∫（0到2）【xe^2x/4】dx
=1/8∫（0到2）【2xe^2x】dx
=1/8∫（0到2）【x】de^2x
=1/8xe^x|（0到2）-1/8∫（0到2）【e^2x】d2x
=e^4/4-1/8(e^4-e^0)
=e^4/8+1/8
于是
D（Y）=E(e^2x)-[E(Y)]2
=e^4/8+1/8-（e2/4+1/4）2
=（e2-1）2/16