无穷个无穷小相乘是无穷小吗

Answer 1

无穷个无穷小相乘是无穷小，无穷小量是数学分析里的一个概念，它和有限小量及无限小量共同组成了微积分学中的基本概念。

对于数项乘积，每一项只与序列指标n有关，每一项都是当n趋于无穷时的无穷小量，结果一定是无穷小。

对于函数项乘积，导致它每一项都是无穷小的因素是函数自变量x，这时候结果就不能确定了，

直观地理解一下就是：每一项都是一个关于x的函数，对于同一个ε，每个函数对应的δ邻域是不同的，函数在零点处越“陡，邻域半径δ就必须取的越小，如果函数列越来越“陡”，以至于随着指标n的增大，δ趋近于0，乘积失去控制，变得无法确定。

如果有一个δ的取值，可以适用于序列中的每一个函数，说明函数列“陡度”是可控的，此时乘积是无穷小量，这一点可以从一致收敛考虑一下。

一定要区分开函数项乘积和数项乘积，尤其注意数项乘积，要求每一项都不能与除了指标以外的因素产生关系。

对于数项乘积，每一项只与序列指标n有关，每一项都是当n趋于无穷时的无穷小量，结果一定是无穷小。

对于函数项乘积，导致它每一项都是无穷小的因素是函数自变量x，这时候结果就不能确定了，

直观地理解一下就是：每一项都是一个关于x的函数，对于同一个ε，每个函数对应的δ邻域是不同的，函数在零点处越“陡，邻域半径δ就必须取的越小，如果函数列越来越“陡”，以至于随着指标n的增大，δ趋近于0，乘积失去控制，变得无法确定。

如果有一个δ的取值，可以适用于序列中的每一个函数，说明函数列“陡度”是可控的，此时乘积是无穷小量，这一点可以从一致收敛考虑一下。

一定要区分开函数项乘积和数项乘积，尤其注意数项乘积，要求每一项都不能与除了指标以外的因素产生关系。

扩展资料：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。