给定抛物线C：Y平方=4X，F是C的焦点，过点给定抛物线C：Y平方=4X，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A B

Question

给定抛物线C：Y平方=4X，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A B两点
设向量FB=入向量AF，若入属于四到九（闭区间），求l在Y轴上截距的变化范围

Answer 1

用极坐标解
抛物线方程：ρ=2/(1-cosθ)
设 |AF|=2/(1-cosα) , α∈[0,2π)
则|BF|=2/(1+cosα)
|FB|/|AF|=(1-cosα)/(1+cosα)=-1+2/(1+cosα)=λ∈[4,9]
所以cosα∈[-4/5,-3/5]
所以tanα∈[-4/3,-3/4]∪[3/4,4/3]
即直线AB的斜率k范围是[-4/3,-3/4]∪[3/4,4/3]
AB:y=k(x-1)
所以 截距=-k
所以 截距的范围是[-4/3,-3/4]∪[3/4,4/3]

也可以用普通方法解：
设A(x1,y1),B(x2,y2)
由FB=λAF得
y2=-λy1……(1)
x2-1=λ(1-x1)
整理得
x2=λ-λx1+1……(2)
因为A,B在抛物线上
所以y1^2=4x1……(3)
y2^2=4x2……(4)
将(1)(2)代入(4)，得
(λy1)^2=4(λ-λx1+1)……(5)
将(3)两边同乘λ^2，与(5)联立，消y1得
x1=1/λ
设AB与y轴交于点P(0,y0)
因为P,F,A三点共线
所以 y1/(x1-1)=-y0
其中y1=±2(x1)^0.5
令t=(x1)^0.5, t∈[-3,-2]∪[2,3]
-y0=2t/(t^2-1)=2/(t-(1/t))
因为 t-(1/t)∈[-8/3,-3/2]∪[3/2,8/3]
所以-y0∈[-4/3,-3/4]∪[3/4,4/3]