老师你好，问两道线性代数的证明题。

Question

1.A的伴随矩阵可逆怎么推出A可逆？
2.A'A=0怎么推出A=0?（A是实数域上的矩阵）

Answer 1

1、若A不可逆，则|A|=0，所以AA*=|A|E=0，因为A*可逆，两边右乘以A*的逆矩阵，所以A=0。由A=0得A*=0，与A*可逆矛盾，所以A可逆。
2、设A是m×n矩阵，第i行第j列元素是aij，则A'A的主对角线元素是(a1k)^2+(a2k)^2+...+(amk)^2，k=1,2,...,n。由A'A=0得(a1k)^2+(a2k)^2+...+(amk)^2=0，k=1,2,...,n。所以a1k=a2k=...=amk=0，k=1,2,...,n。
所以A的元素全为零，所以A=0。

追问

为什么由A'A=0得(a1k)^2 (a2k)^2 ... (amk)^2=0，k=1,2,...,n。？
A'A不一定是主对角矩阵啊

我想错了- -现在知道了，谢谢！

Answer 2

|A*|=|A|^(n-1)≠0===>|A|≠0==>A可逆

|A`A|=|A`|*|A|=|A|^2=0===>|A|=0

追问

可是第二题中没有说A是方阵啊

追答

额，好吧。那你考虑A`A的元素 ，元素都是平方和

追问

嗯，谢谢！
再问一下，我在证明A*可逆推出A可逆时是用AA*=|A|E这个公式的，为什么这样做是错的？