证明二次型f(x)＝(x^T)Ax在||X||=1的下的最大值为矩阵A的最大特征

Question

老师你好，这是这道题的答案。前半部分我看懂了，感觉只有前半部分就可证明出此问题啊，而我括号括住的部分看不懂是在干什么，以及这部分对此题的证明有什么用呢？谢谢您

Answer 1

是线性代数吧？是的话，这道题稍稍有点过了。
你注意到你认为的前半段，并没有用到x模长为1这个条件，而且结论也只是半定性的，
小于等于最大特征值。

所以从逻辑上，还不够严密，也就必须进行下半段论证。

从“另一方面”起的后半部分叙述，是取特殊值进行讨论的，这里已经有点线性泛函里的证法了，略显抽象，从数学思想来说相当于从两边攻破，这种思想到处有体现，既大于等于某个值，又小于等于某个值，最后就只能等于某个值。这里就类似于这样的证法。

而且这里的证法比较程式化，也就是说第二部分一般都是取特殊值进行论证。

最终才能定量为完全等于某个值。

追问

是线代同济五版上的课后题，可是在“另一方面”之前这步就利用了x模长为1这个条件啊,还有就是最后怎么得到f(x0)=λ1呢？

追答

晕，我又看走眼了，呵呵。

后面你问这个其实很简单，把几个条件综合起来，注意y0的取法，再注意对角阵的排法，
那么f（x0）的求解，就很明白了！

虽说在线代里，但这道题，略略高了点，这种证法，在数学系研究生课程《泛函分析》里，用的特别多了。

追问

谢谢您的解答。我理解为第二部分就是取个特殊值进行验证，而线性泛函太高深。。还想问正如您所说，此题有些略高，那目的是考研复习的话这个题是不是也偏？不用过分在意？

追答

是，这题有点拔高，如果你能理解更好。如果理解不了也不用太在意。
你研究下近几年考研线代部分，向量组的线性相关性，矩阵及方程组，
求逆，二次型及合同，特征值特征向量与矩阵的相似，正交矩阵和
施密特正交化方法，这几块知识也有很多东西可挖掘，越来越深入，
你现在要做的重点理解前面这些，并能将其内在关系搞清。