三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，长度分别为a，b，c，则P点到平面ABC的距离h与a，b，c的关系？

Question

过程尽量简单点啊
有几个备选答案
A 1/h²=1/a²+1/b²+1/c²
B h²=a²+b²+c²
C 1/h=1/a+1/b+1/c
D h²=abc

Answer 1

选A

如图，PH即为h，其中，很容易可证得PD垂直BC，AD垂直BC，PA垂直PD

设CD为x，

首先，BC=√(a^2 +b^2)，所以，在△ABC中，可以根据两个直角三角形△ABD和△BCD，求出x=b^2/√(a^2+b^2)，所以可以求出AD=(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)/(a^2+b^2)

因为S△PAD=1/2 *PA*PD=1/2 *AD*h

接下来就是把PA,PD,AD带入，即可很容易化出1/h^2 =1/a^2 +1/b^2 +1/c^2

Answer 2

由勾股定理，
AB=√(a^2+b^2),
BC=√(b^2+c^2),
AC=√(a^2+c^2).有余弦定理：
cosA=a^2/[√(a^2+c^2)·√(a^2+b^2),
∴sinA=√[(a^2·c^2)+（c^2·b^2）+(a^2·b^2)]/[√(a^2+c^2)·√(a^2+b^2).
∴△ABC的面积=√[(a^2·c^2)+（c^2·b^2）+(a^2·b^2)]/2。
由体积法：
abc=h√[(a^2·c^2)+（c^2·b^2）+(a^2·b^2)]，
∴P到平面ABC的距离h=abc/√[(a^2·c^2)+（c^2·b^2）+(a^2·b^2)]。

Answer 3

D