导数和微分之间是什么关系，或联系？

Question

微分的概念看了以后不太明白，感觉它和导数之间很模糊，
请高人用比较通俗易懂的文字来讲一讲导数和微分之间的关系，或者联系~~

特别是在做积分的时候，用凑微分时，搞不懂为什么要凑成"udu"的形式，udu的依据是什么

Answer 1

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述： 可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率； 可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。 dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性 dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx 这就是可导、可微之间的关系： 可导 = 可微 = Differentiable。 导数 = 微分 = Differentiation，Derivative 不可导 = 不可微 = Undifferentiable 【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】 2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念， 有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。 【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】 多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念 一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数， a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。 b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。 c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯 这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。 一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy时， du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。 而∂f、∂x、∂y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。x的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂x)dxy的单独变化会引起u的变化，du=(∂f/∂y)dy其中的 ∂f/∂x、∂f/∂y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。∂f/∂x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；∂f/∂y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。x、y同时变化，引起u的变化是：du=(∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。总而言之，言而总之：对一元函数，可导与可微没有本质区别；对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

可以么？

Answer 2

dx表示很小很小的x，要多小有多小。
dy是当自变量增量为dx时，函数值的近似增量。所以dy=tanθdx,tanθ是点x切线斜率，而切线斜率是f'(x),所以f'(x)=dy/dx,所以又叫微商。

udu中u是关于自变量的函数，如果把u当作一个整体看成新的自变量，求udu,就相当于求xdx

Answer 3

对于一元函数，可导等价于可微
简单的讲，对一个可导函数f(x),f'(x)dx = df(x)

Answer 4

1、设函数式为y=f(x), 则函数y的导数记为：y′=f′(x)=dy/dx.而函数的微分记为dy=f′(x)dx.(式中dy叫做函数y的微分，dx叫做自变量x的微分）。 所以函数的导数与函数的微分之间的关系是：函数y的导数等于函数y的微分f′(x)与自变量x的微分dx的乘积。
2、因为函数u（x）与函数v（x）乘积的导数等于u的导数乘以v再加上u乘以v的导数，即（uv)′=u′v+uv′①,且求函数的积分与求函数的导数是互逆运算。所以对①式两端积分得：∫（uv)′dx=∫u′vdx+∫v′udx②,由1知u′dx=du,v′dx=dv所以将这两式代入②得uv=∫vdu+∫udv。即∫udv=uv-∫vdu.这就是凑微分的原理。

Answer 5

导数的表示：dy/dx = f '(x), 那么好：dy = f '(x)dx = .d(f(x))
前面式叫做导数，而后面式叫做微分。
在微分运算时，( u*v) ' = u'* v + u * v' 可以写成：
d( u*v)/dx = (du/dx) * v + u *(d v/dx) = v* du + u* dv
d( u*v) = v* du + u* dv