已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线

Question

已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M，点F在线段ME上，且满足CF=AD，ME=MA
（1）若角MFC=120°，求证：AM=2MB
（2）求证:角MPB=90°-½角FCM

Answer 1

是ME=MA，还是MF=MA？ 

证明：ME=MA应该是MF=MA。因为如果ME=MA则角AEM=角EAM，又CF=AD，CF>CE，可知AD>DE，角AED>角DAE，所以角DAM<直角，M点不在CB的延长线上，而在CB上。

1、

∵EM垂直平分于CD

∴MC=MD

又∵MA=MF，AD=CF

∴三角形AMD≌三角形FMC

∴角MAD=角MFC=120°

又∵AD∥BC

∴角MAD+角AMC=180度

∴角AMC=60度

角ABM=90度

AM=2MB

2、

显然三角形AMD≌三角形FMC≌三角形FMD，∠AMD=∠DMF=∠FMC

∵∠MFC+∠EFC=180度，∠MAD+∠AMC=180度，∠MAD=∠MFC

∴∠EFC=∠AMC

又∵∠EFC=∠FMC+∠FCM，∠AMC=∠AMD+∠DMF+∠FMC

∴∠FCM=∠AMD+∠DMF=2∠FMC

∴∠MPB=90°-∠FMC=90°-½∠FCM

Answer 2

（1）做辅助线连接FD和MD，因E是DC中点,ME重直于DC，则△CFE≌△DFE，FD=CD、∠CFE=∠DFE、∠MFC=∠DFD，则△MCF≌△MDF，又CF=AD，则FD=AD，因MF=MA，CF=AD，所以△MAD≌△MDF，∠MAD=∠MFD=∠MFC=120度，又因∠ABC=90度，AD||BC，可知∠BAD=90度，∠MAB=120-90=30度，由此可得AM=2MB。
（2）因△MCF≌△MDF≌△MDA，则∠MDA=∠MDF=∠MCF，由AD‖BC可得∠ADC+∠MCD=180度，推出3∠MCF+2∠FCD=180度，∠FCD=90-3∠MCF/2,又由在四边形APED中∠PAD=∠PED=90度得∠MPB=∠APB=180-∠ADE=180-(2∠MCF+∠FCD),将∠FCD=90-3∠MCF/2代入可得角MPB=90°-½角FCM。

Answer 3

什么东yio打不出来“包含于”的符号 就用“＜”代替了
解：过D作DM⊥AB交AB于M ∵DC=BC,∠ABC=∠BCD=∠DMB=90° ∴四边形BCDM为正方形
∴BM=MD=DC ∴AB=2DC=2BM ∴AM=MB=MD ∴△AMD为等腰直角三角形 ∴∠DAM=45°
∵BD为正方形BCDM对角线 ∠MBD=1/2∠MBC=45° ∴∠ADB=90° ∴BD⊥AD
取AD中点N 连接PN ∵PA=PD ∴△PAD为等腰三角形 ∴PN⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, PN＜平面PAD ∴PN⊥平面ABCD
∵BD＜平面ABCD ∴PN⊥BD
∵PN∩AD=N,PN＜平面PAD,AD＜平面PAD ∴BD⊥平面PADond

Answer 4

证明：（1）连接MD，
∵点E是DC的中点，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠MAB=30°，
在Rt△AMB中，∠MAB=30°，
∴BM= AM，
即AM=2BM；
是中考题

（2）∵△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥DC，
∴∠DME=∠CME= ∠CMD，
∴∠CME= ∠FCM，
在Rt△MBP中，∠MPB=90°-∠CME=90°- ∠FCM．

Answer 5

解答：证明：（1）连接MD，

∵点E是DC的中点，ME⊥DC，

∴MD=MC，

又∵AD=CF，MF=MA，

∴△AMD≌△FMC，

∴∠MAD=∠MFC=120°，

∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∴∠MAB=30°，

在Rt△AMB中，∠MAB=30°，

∴BM= 12AM，

即AM=2BM；

（2）∵△AMD≌△FMC，

∴∠ADM=∠FCM，

∵AD∥BC，

∴∠ADM=∠CMD

∴∠CMD=∠FCM，

∵MD=MC，ME⊥DC，

∴∠DME=∠CME= 12∠CMD，

∴∠CME= 12∠FCM，

在Rt△MBP中，∠MPB=90°-∠CME=90°- 12∠FCM