定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f(-x)=-f(x),当x∈(0,1)时f(x)=1/(2^x+4^x).

Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f(-x)=-f(x),当x∈(0,1)时f(x)=1/(2^x+4^x).若函数g（x）=1/f（x）-a在【-1,1】内有零点，求a的范围

Answer 1

首先由条件可知，f(x)为周期为2的奇函数，因为f(x)=f(x+2).即有f(-2)=f(0)=f(2),又因为是奇函数，即f(2)=-f(2)，即f(2)=0，同样的,f(-1)=f(1)，且f(-1)=-f(1)，即f(1)=f(-1)=0.由于周期为2，因此图像可以确定（类似于sinx的图像）。
因为g(x)=1/f(x)-a，由图像画出1/f(x)图像，在（0,1）处为U型曲线，x=1/2时为最小值，两边无限趋近正无穷；在（-1,1）处则刚好倒过来，两边无限趋近负无穷。由此可以分析g(x)有零点的情况：
i）若g(x)只有一个零点，即可以知道为g(1/2)或g(-1/2)。当零点为1/2时，a为正数，且满足1/f(1/2)-a=0因为x∈(0,1)时f(x)=1/(2^x+4^x).可知a=2+根号2。同样的，如果零点为-1/2时，a为负数，因为f(x)为奇函数，则f(-1/2)=-f(1/2),即a=-2-根号2。
ii）当g(x)有两个零点时，与i）类似，当零点为1/2时，g(1/2)<0，则a>2+根号2。同样的，当零点为-1/2时g(-1/2)>0,则有a<-2-根号2.
综上可知，当a<=-2-根号2或者a>=2+根号2时，g(x)有零点。

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Answer 2

jjhj

Answer 3

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