已知函数f(x)=x^2-2ax+3(a∈R)，求函数f(x)在区间[1,3]上的最小值h(a) 过程，急！！

Question

已知函数f(x)=x^2-2ax+3(a∈R)，求函数f(x)在区间[1,3]上的最小值h(a)

Answer 1

我们首先确定函数f(x) = x^2 - 2ax + 3的最小值。这是一个二次函数，形式为f(x) = ax^2 + bx + c，它的最小（或最大）值出现在x = -b/2a处。对于此函数，a=1, b=-2a，所以最小值的x坐标为x=-(-2a)/2(1)=a。

所以，f(x)在x=a处取得最小值，此时的函数值为：

f(a) = a^2 - 2a*a + 3 = a^2 - 2a^2 + 3 = 3 - a^2

然而，我们需要找的是函数在区间[1,3]上的最小值，所以我们需要判断a的值是否在这个区间内。

如果a在[1,3]区间内，那么函数的最小值就是f(a)=3-a^2。

如果a不在这个区间内，那么函数的最小值将出现在区间的端点，即x=1或x=3，我们需要分别计算f(1)和f(3)的值，然后取两者之间的较小值。

f(1) = 1^2 - 2a1 + 3 = 4 - 2a
f(3) = 3^2 - 2a3 + 3 = 12 - 6a

现在我们来考虑这三种情况：

如果a <= 1，那么函数在区间[1,3]的最小值为h(a)=f(1)=4-2a。

如果1 < a < 3，那么函数在区间[1,3]的最小值为h(a)=f(a)=3-a^2。

如果a >= 3，那么函数在区间[1,3]的最小值为h(a)=f(3)=12-6a。

所以我们可以写出h(a)为分段函数：

h(a) = {4 - 2a, a <= 1
{3 - a^2, 1 < a < 3
{12 - 6a, a >= 3

Answer 2

根据对称轴的位置讨论。 f (x)=x^2-2ax+3= (x-a)2+3-a2 ，抛物线开口向上，对称轴 x=a 。
当 a<1 时，函数在 [1，2] 上为增函数，因此值域为 [f (1)，f (2)] ，即 [4-2a，7-4a] ；
当 a>2 时，函数在 [1，2] 上为减函数，因此值域为 [f (2)，f (1)] ，即 [7-4a，4-2a] ；
当 1<=a<3/2 时，函数在 [1，a] 上减，在 [a，2] 上增，对称轴位于区间左半部分， 因此最小值在 x=a 处取，最大值在 x=2 处取，因此值域为 [f (a) ，f (2)] ，即 [3-a^2，7-4a] 。