三道高中数学题 要有详细过程

Question

1、二次函数f(x)=ax^2+bx+c，a为正整数，c≥1，方程a+b+c≥1，方程ax^2+bx+c=0有两小于1的不等正根，求a的最小值。
2、若f(x+1)定义域[-2,3),则f(2x-1)的定义域？
3、对于函数f(x)=bx^3+ax^2-3x,若f（x）为R上单调函数，且b≥-1，设P(a,b)试求P的轨迹所形成的图形的面积S

Answer 1

1，
a的最小值为5
这道题可以通过图像的性质来回答
要知道a在图像中的意义是什么？a代表开口的大小，a越大，开口越小
根据题意可以得到f（1）》1，且c》1
如果这个函数和x轴的交点都是《1的不等正根。那么函数在开口最大时则一定要过（1，1）点，并且满足c=1，这时候便可以得到
a+b=0并且必须保证有两个不等的根
解得a>4,所以a的最小值是5
2，
函数f(x+1)的定义域是[-2,3],
即-2<=X<=3 ==> -1<=X+1<=4
函数f(2x-1)的定义域
则为 -1<=2X-1<=4 ==>0<=2X<=5==> 0<=X<=5/2
所以其定义域为[0,5/2]
3，
原函数求导得
f’（x）= 3bx^2+2ax-3.
原函数f（x）在实数R上是单调函数，要么单调递增，要么单调递减。
也就是说，导函数f’（x）要么恒为正，要么恒为负。
导函数是一个二次函数，那么相应地，其图像要么全在x轴上方，要么全在x轴下方。
一句话，导函数的判别式小于或等于0
△=（2a）^2-4*3b(-3)= 4a^2+36b≤0化简得
b≤-a^2/9 其中b≥-1(已知条件)
所以P点的轨迹为
y≤-x^2/9 （y≥-1）
它表示抛物线y= -x^2/9与直线y= -1所围成的一块区域。
两曲线联立求得交点为（-3，-1）（3，-1）
所求面积=∫《-3》《3》[（-x^2/9）-（-1）]dx
=（-x^3/27+x）∣《-3》《3》
=[-3^3/27+3]-[-(-3)^3/27+(-3)]
=(-1+3)-(1-3)
=4

(上式中∫为积分符号，第一个书名号为积分下标，第二个书名号为积分上标。)