高中数学题3道求高手解决！要有过程啊！

Question

1，已知抛物线Y方=2PX上两点A，B,BC垂直于X轴交抛物线于C AC交X轴于E BA延长交X轴于D 求证O为DE的中点。
2，设抛物线过定点A（2，0） 且以直线X=-2为准线 1）求抛物线顶点C的轨迹方程 2）已知点B（0，-5） 轨迹C上是否存在满足向量MB与向量NB的积等于0的M,N两点
3，过抛物线Y方=6X的顶点作互为垂直的两条直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB中点的轨迹方程。

Answer 1

第一题：设A(x1,2px1) B(x2,2px2) 则C坐标为（x2 ，-2px2）
设E的坐标为（m,0），由于AE和CE的斜率相同，所以有 (2px1-0)/(x1-m) = (-2px2-0)/(x2-m)
化简可得，m=2x1x2/(x1 + x2)
同理可以设D的坐标为（n,0）,由于AD和BD的斜率相同，有 (2px1-0)/(x1-n)=(2px2-0)/(x2-m)
化简可得 n= -2x1x2/(x1 + x2)
由于m和n的绝对值相同，符号不同，所以O为中点。

第二题 ：设C的坐标为（x,y）
由于准线为 x= -2 ，定点为焦点和准线的中点，所以可以得到焦点坐标是（2x+2 , y）,
抛物线恒过定点A（2,0） ，所以点A（2,0）到焦点的距离等于到准线的距离
可得：(2x+2-2)^2 + y^2 = [2-(-2)]^2 ，化简可得 x^2/4 +y^2/16 =1，这是一个焦点在Y轴的椭圆

不存在，这个是要画图的，该椭圆上任意两点对B的张角最大的时候是出现在X轴的两点，也就是当（2,0）和（-2，0）的时候角MBN达到了最大，此时仍然是锐角，所以不存在

第三题，显然这两条直线不能是X轴和Y轴，因为它们都只和抛物线有1个交点
设一条直线为 y=kx，则另一条直线为 y=-x/k
分别联立方程组 y=kx y=-x/k
y^2 =6x y^2=6x
解出另两个点（6/k^2 ，6/k） ， （6k^2 ，-6k）
它们的中点为（3/k^2 +3k^2 ，3/k - 3k）=(x ， y)
然后就是用x 和y相互变形，将k消去
y^2 =9(1/k^2 + k^2 -2 ) =3x -18
即：y^2+ 18 =3x 这是一个抛物线

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Answer 2

第一个，设Abc的坐标出来，利用De横坐标相加为0可得。第3个，3x减18等于Y方

Answer 3

第一题要做草图理清坐标关系，尽量减少参数，其中要指出P不等于零，用X的函数参与化简，至于直线方程的通式没什么好将的，Y=AX+B，当y＝0时，求x？

Answer 4

1、设A，B的坐标分别为（2pt²，2pt)、(2ps²，2ps)，则C点坐标为（2ps²，-2ps)
AB的方程为 (t+s)(y-2pt)=x-2pt² 它与X轴的交点D的坐标为（-2pts，0）
AC的方程为（t-s)(y-2pt)=x-2pt² 它与X轴的交点E的坐标为（2pts，0）
所以O为DE的中点
2、1）设C点坐标为（x，y)，因抛物线准线为X=-2，所以抛物线焦点坐标为F（2x+2，y)
由抛物线定义知A到F和A到直线X=-2的距离相等，所以（2x)²+y²=4² 即 4x²+y²=16 （*）
2)因向量MB与向量NB的积为0，所以MB与NB垂直。
设MB的方程为 y=kx-5，则NB的方程为 y=-x/k -5 把它们分别代入方程（*），由两个二次方程的判别式不小于0 得k²≥3/2 和 k²≤2/3。这样的k不存在
3、设A，B的坐标分别为（6t²，6t）和（6s²，6s）
由OA、OB互相垂直得 ts=-1
设AB中点M的坐标为（x，y），则
x=3(t²+s²) (1)
y=3(t+s) (2)
所以 (2)²-3*(1)得 y²-3x=9[(t+s)²-(t²+s²)]=-18
即AB中点的轨迹方程为 y²=3(x-6)