在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；

Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且 ，求点P的坐标；（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．

Answer 1

（1） ∵抛物线  经过A（-1，0），B（-3，0），    ∴    解得：    ∴抛物线的解析式为 （2） 由．  可得D（-2，1），C（0，-3）     ．    可得 是等腰直角三角形．     ∴ =45 。 ，  如图1，设抛物线对称轴与轴交于点F， ．   过点A作  于点E．     ∴ =90 。   可得， ．   在 AEC与 AFP中， =90 。 ， ，     ∴ ．    ∴ ，   解得PF=2．   点P在抛物线的对称轴上，点P的坐标为（-2，2）或（-2，-2）． （3）设直线BC的解析式，直线BC经过B（-3，0），C（0，-3），    ∴    解得：k=-1，b=-3， ∴直线BC的解析式   设点Q（m，n），过点Q作QH⊥BC于H，并过点Q作 QS∥y轴交直线BC于点S，    则S点坐标为（m，-m-3） ∴QS=n-（-m-3）=n+m+3    ∵点Q（m，n）在抛物线y=-x 2 -4x-3上，    ∴n=-m 2 -4m-3    ∴QS=-m 2 -4m-3+m+3            =-m 2 -3m            =    当m=  时，QS有最大值    ∵BO=OC，∠BOC=90°，     ∴∠OCB=45°    ∵QS∥y轴， ∴∠QSH=45°    ∴△QHS是等腰直角三角形    ∴当斜边QS最大时QH最大.     ∵当m=  时，QS最大， ∴此时n=-m 2 -4m-3=- +6-3=     ∴Q（ ， ）    ∴Q点的坐标为（ ， ）时，点Q到直线BC的距离最远。