已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三，过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线与C相交于A、

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三，过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若向量AF=3倍向量FB，则K=

下面解法中 【向量AF=3向量FB，则xA-xF=3(xF-XB)，】，向量与x轴有什么直接的关系~~~

还有简单点的解法吗

根据题意，椭圆的离线率为√3/2，右焦点坐标为（xF，yF），其中xF=c=√3/2 a，YF=0
椭圆的右准线方程为 x=a平方/c=2/√3 a=2√3 / 3 a

向量AF=3向量FB，则xA-xF=3(xF-XB)，得
xA+3xB=4xF=4c=2√3 a
又由椭圆的性质知，椭圆的离心率，就是椭圆上的动点到焦点的距离和该点到相应准线的比值
即
|向量AF| =（2√3 / 3 a -xA）√3/2
|向量BF| =（2√3 / 3 a -xB）√3/2
又|向量AF|=3|向量BF|
∴（2√3 / 3 a -xA）√3/2 = 3（2√3 / 3 a -xB）√3/2
得到2√3 / 3 a -xA= 3（2√3 / 3 a -xB）
3xB-xA=4√3 / 3 a
结合xA+3xB=2√3 a
解得xB=10√3 / 18 a
代入椭圆方程，解得yB= ±√6 /18 a
k=(yB-YF) / (xB -XF)
=±√6 /18 a / (10√3 / 18 a-√3/2 a)=± √2

Answer 1

此题有简易解法。
根据题意，椭圆的离心率为√3/2，右焦点坐标为（√3/2*a，0），
右准线方程为： x=2√3 / 3* a。
过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，
延长AB交右准线P点，过A、B作右准线的垂线，交点分别为M、N点。
则，由椭圆的性质知：√3/2*|AM|=|AF|，√3/2*|BN|=|BF|，
由 向量AF=3倍向量FB，得：
|AM|=2√3*|BF|，|BN|=2√3/3*|BF| ，|AB|=4|BF|，
利用相似三角形PAM与三角形PBN，易求出：|PB|=2|BF|。
所以 |PN|=2√6/3*|BF|，角PBN的正切值为：|PN|/|BN|=√2。
所以直线AB的斜率K=√2。

此题已给出条件(k>0)，如果没有此条件，就要分情况。

Answer 2

做椭圆右准线，从A、B分别做准线的垂线AM、BN，垂足M、N，
做BD⊥AM，垂足D，
根据椭圆第二定义，
e=|AF|/|AM|,
e=|BF|/BN|,
|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3，
|AM|=3|BN|，
|MD|=|NB|，
|AD|=2|MD|，
|AD|=2|MA|/3，
又因|AF|/|AM|=√3/2，所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,
∴|AD|/|AB|=√3/3,
设直线倾斜角是θ，即有cosθ=√3/3,
所以直线斜率k=tanθ=√2.

Answer 3

这是常规解法啊

Answer 4

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