已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线于椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程

Answer 1

解：
(1)设椭圆的半焦距为c
则有：
a²=b²+c²
a²+b²=5
c/a=√3/2
解得：
a=2
b=1
c=√3
所以椭圆的方程为：(x²/4)+y²=1
(2)
【方法一】
设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k(x+1)（k≠0），联立椭圆方程：(x²/4)+y²=1
得：(4k²+1)x²+8k²x+4(k²-1)=0
两个根为x1，x2
x1+x2=-8k²/(4k²+1)
x1•x2=4(k²-1)/(4k²+1)
则|PQ|=[√(1+k²)]|x1-x2|=[√(1+k²)] ×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]（k≠0）
又原点到直线l的距离d=|k|/(1+k²)
所以
S=(1/2)|PQ|•d
=(1/2)√(1+k²)×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]×[|k|/(1+k²)]
=2√(3k²+1)k²/(4k²+1 ) （k≠0）
=2√(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)
=2√[3/16-(8k²+3)/16(16k^4+8k²+1)]
＜2•√3/4
=√3/2
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大；

做第二问的基本思路就是将直线方程与椭圆方程联立，消去y
满意请采纳。

追问

a²+b²=5 是怎么来的啊 而且貌似答案不太对

Answer 2

双曲线x^2-y^2=1的渐近线为y=x

所以以这四个交点为顶点的四边形是菱形

设p为在第一象限交点，p(x,y)
根据面积得p(2√2,2√2)
e=√3/2

e^2=3/4=a^2/b^2
b^2=1/4a^2
带入:x^2/a^2+y^2/b^2=1

得a^2=40
b^2=10
剩下的会了吧
其中有什么不懂欢迎提问
可能计算会出错，自己再算算。

Answer 3

不会ejvkfngmh