高中一道难度一般的导数大题的2、3小题

Question

一定要详细过程啊 不要就一个答案 谢谢了！

Answer 1

解：
(1)
∵f'(x)＝x²＋2ax－b
∴f'(1)＝1＋2a－b
又∵函数在x＝1处的切线与直线x－y＋1=0平行
∴在x＝1处的切线的斜率等于1
∴f'(1)＝1
∴b＝2a ①
∵f(x)有极值
故方程f'(x)＝x²＋2ax－b＝0有两个不等实根
∴Δ(根判别式)＝4a²＋4b＞0
∴a²＋b＞0 ②
由①、②得：
a²＋2a＞0
∴a＜－2或a＞0
故实数a的取值范围是：(－∞，－2)∪(0，＋∞)

(2)
存在，a＝－8/3
∵f'(x)＝x²＋2ax－b
令f'(x)＝0
∴x1＝－a－√(a²＋2a)，x2＝－a＋√(a²＋2a)

x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴f(x)极小＝f(x2)＝(1/3)x2³＋ax2²－2ax2＋1＝1
∴x2＝0或x2²＋3ax2－6a＝0
若x2＝0，即－a＋√(a²＋2a)＝0，则a＝0(舍)
若x2²＋3ax2－6a＝0，又f'(x2)＝0
∴x2²＋2ax2－2a＝0
∴ax2－4a＝0
∵a≠0
∴x2＝4
∴－a＋√(a²＋2a)＝4
∴a＝－8/3＜－2
∴存在实数a＝－8/3，使得函数f(x)的极小值为1

(3)
∵a＝1/2，f'(x)＝x²＋x－1
∴f'(x＋1)＝x²＋3x＋1
∴[f'(x＋1)/x]－3＝[(x²＋3x＋1)/x]－3＝(x²＋1)/x＝x＋(1/x)
∴g(x)＝x＋(1/x)，x∈(0，＋∞)
证明：
当n＝1时，左边＝0，右边＝0，原式成立
假设当n＝k时结论成立，即[x＋(1/x)]^k－(x^k)－[1/(x^k)]≥(2^k)－2
当n＝k＋1时，
左边＝[x＋(1/x)]^(k＋1)－[x^(k＋1)]－[1/x^(k＋1)] ≥ [x＋(1/x)]•[(2^k)－2＋(x^k)＋(1/x^k)]－[x^(k＋1)＋1/x^(k＋1)]＝[x＋(1/x)]•[(2^k)－2]＋x^(k－1)＋[1/x^(k－1)] ≥ 2^(k＋1)－4＋2＝2^(k＋1)－2
当且仅当x＝1时等号成立，即当n＝k＋1时原式也成立
综上，当n∈N+时，g^n(x)－(x^n)－(1/x^n) ≥ (2^n)－2成立
【数学归纳法证明不等式】

Answer 2

∵f(x)有极值
∴f'(x)=x^2+2ax-b=0有解
f'(1)=1+2a-b=1
b=2a
(1)
x^2+2ax-b=0=x^2+2ax-2a
△＝4a^2+8a≥0
a≥0或a≤-2
（2）
f(x)的极小值为1，则存在x使得
f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+1=1
即1/3x^3+ax^2-bx=0
x^3+3ax^2-3bx=0
x(x^2+3ax-3b)=0
x=0或x^2+3ax-3b=0
f'(x)=x^2+2ax-b
f''(x)=2x+2a
x^2+2ax-2a＝0，当x=1时，无解，因此f(x)不存在极

追问

是2、3小题哦 第三小题在过程中吗？

我了个去 第二小题就那么好了？ 我晕啊 我算死去……
唉 还是不熟练啊！

追答

∵f(x)有极值
∴f'(x)=x^2+2ax-b=0有解
f'(1)=1+2a-b=1
b=2a
(1)
x^2+2ax-b=0=x^2+2ax-2a
△＝4a^2+8a≥0
a≥0或a≤-2
（2）
f(x)的极小值为1，则存在x使得
f(x)=1/3x^3+ax^2-bx+1=1
即1/3x^3+ax^2-bx=0
x^3+3ax^2-3bx=0
x(x^2+3ax-3b)=0
x=0或x^2+3ax-3b=0
若f(x)有极值则f'(x)=x^2+2ax-b=0，
有极值说明△＝4a^2+4b=0
x=-a,且-a^2=b
代入x^2+3ax-3b=0得
a^2+3a^2+3a^2=0
a=0,x=0
f''(x)=2x+2a=0,
说明此点是f(x)的拐点，不是极值点
（3）
a=1/2时
f'(x)=x^2+x-b
g(x)=f'(x+1)/x-3
=[(x+1)^2+(x+1)-b]/x-3
这个地方不对吧？g(x)怎么不能化简呢？

追问

第二小题不会那么简单的吧？ 人家都是当做压轴题的额

追答

？？？压轴题怎么了，不一样啊。

追问

先别急 可能你哪个地方想错了 你看看下面的回答

追答

如果要错，就是根据f'(1)＝0算出b=2a没往下面代入。

追问

晕 本来就是要带入的啊 这个条件是大前提里给的 不是小题目里的

追答

噢，那就按下面的那个人做的方法吧，这个题目有点绕。

Answer 3

敢不敢给分啊，不给分你设置150搞毛啊，有意思没！！！

追问

换小号来吠？ 这么没素质？
不管你是谁 你这种垃圾我还真是见多了

追答

好吧，我垃圾，不是我要你的分，我是看不过去人家给你做完题了你不给分，因为我也经常得不到分。但是我有问题别人帮我解决了我一定会给分的，虽然我垃圾！！！

追问

原来如此 我总要把答案抄完吧？ 你们这样一来一去 难怪互联网的素质越来越差
真正的助人 难道仅仅是为分吗？
如果都为分 那网络提问还有什么意思？