12个小球，其中一个质量不同（其余特征一样），现只有一个天平，只用3次便可以找出这个小球的方法？

Question

12个小球，其中一个质量不同（其余特征一样），现只有一个天平，只用3次便可以找出这个小球的方法？
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Answer 1

首先将12件产品依次标号为：①、②、③、……、⑩、(11)、(12)，并分成三组①、②、③、④；⑤、⑥、⑦、⑧；⑨、⑩、(11)、(12)．

先称①、②、③、④｜⑤、⑥、⑦、⑧．

情况一 ①＋②＋③＋④=⑤＋⑥＋⑦＋⑧． //称第一次

再称⑥、⑦、⑧｜⑨、⑩、(11)． //称第二次

(a)若⑥＋⑦+⑧=⑨+⑩+(11)，则次品是(12)．

//两次搞定,不用称第三次了.

(b)若⑥＋⑦＋⑧＞⑨＋⑩+(11)，则次品在⑨＋⑩+(11)中．

称⑨｜⑩，若等，则(11)为次品且轻；若不等，则轻为次品．
//三次搞定

(c)若⑥+⑦+⑧＜⑨＋⑩+(11)，推理过程与(b)相似．

情况二 ①＋②+③+④≠⑤＋⑥＋⑦＋⑧． //称第一次

不妨设①＋②＋③＋④＞⑤＋⑥＋⑦+⑧，反之亦然．

称①、②、⑤｜③、④、⑥．

(a)若等，则次品在⑦、⑧中且轻 //称第二次
再称⑦｜⑧，轻者为次品． //三次搞定

(b)若不等，则次品在①～⑥中．

不妨设①＋②+⑤＞③＋④＋⑥，反之亦然．

称②、③、⑤｜①、④、⑦．

(i)若等，则①～⑤为正品，故⑥为次品且轻．

(ii)若②＋③＋⑤＞①＋④＋⑦．

若次品重，则次品在｛②、③、⑤｝∩｛①、②、⑤｝∩｛①、②、③、④｝=｛②｝．

若次品轻，则次品在｛③、④、⑥｝∩｛①、④、⑦｝∩｛⑤、⑥、⑦、⑧｝＝ //为空

(iii)若②＋③＋⑤＜①+④+⑦，则与(ii)类同．

综上所述，本题已解完．

Answer 2

hao yang de.