lim[x→∞] (x+1/x-1)^x 求极限

Question

老师说先令y=(x+1/x-1)^x lny=x[ln(x+1)-ln(x-1)] 先求lny 后面没听到，如果继续下去怎么求 直接求的话我会

Answer 1

结果为：e^2

解题过程如下：

令y=(x+1/x-1)^x lny=x[ln(x+1)-ln(x-1)]

limlny= limx[ln(x+1)-ln(x-1)]

=lim[ln(x+1)-ln(x-1)]/(1/x)

=lim[1/(x+1)-1/(x-1)]/(-1/x^2)

=lim{2x^2/(x^2-1)

=lim2/(1-1/x^2)=2

limlny=2=lnlimy

limy=e^2

扩展资料

求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

结果为：e

解题过程如下：

lim [x/(x-1)]^x

x→∞

=lim [(x-1+1)/(x-1)]^x

x→∞

=lim [1+1/(x-1)]^[(x-1)x /(x-1)]

x→∞

=lim e^[x /(x-1)]

x→∞

=e

扩展资料

求数列极限的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 3

lim[x→∞] (x+1/x-1)^x =e^2。

令y=(x+1/x-1)^x，lny=x[ln(x+1)-ln(x-1)] 

limlny

= limx[ln(x+1)-ln(x-1)] 

=lim[ln(x+1)-ln(x-1)]/(1/x)

=lim[1/(x+1)-1/(x-1)]/(-1/x^2)

=lim{2x^2/(x^2-1)

=lim2/(1-1/x^2)

=2

所以 limlny=2=lnlimy

limy=e^2

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

7、利用两个重要极限公式求极限。

8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）。

9、洛必达法则求极限。

Answer 4

（1）直接求，就是凑常用极限，lim[x→∞]{ [(1+2/(x-1)]^(x-1)/2}^[2x/(x-1)]=e²
（2）取对数：

lny=x[ln(x+1)-ln(x-1)]=xln[1+2/(x-1)] x→∞ , 2/(x-1)→0,ln[1+2/(x-1)] ~2/(x-1)
(注：ln(1+x)~x x→0时） 所以，lim x→∞ lny=lim x→∞ 2x/(x-1) =2 所以，y的极限就是e²。
希望对你有帮助。

Answer 5

令y=(x+1/x-1)^x lny=x[ln(x+1)-ln(x-1)] ,
limlny= limx[ln(x+1)-ln(x-1)] =lim[ln(x+1)-ln(x-1)]/(1/x)=lim[1/(x+1)-1/(x-1)]/(-1/x^2)
=lim{2x^2/(x^2-1)=lim2/(1-1/x^2)=2, 所以 limlny=2=lnlimy
limy=e^2

追问

明白了！