高三排列组合问题

Question

什么是全排列，全排列时为什么要除掉一些数？
我排列组合老都做错怎么办

Answer 1

要排顺序的就是排列，不用排顺序的就是组合
全排列就是所有的数都要排顺序，除掉一些是因为哪些是个别要特殊对待。
经典题型：(弄懂就差不多会了)
1.某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
.解：出牌的方法可分为以下几类：
(1)5张牌全部分开出，有A 种方法；
(2)2张2一起出，3张A一起出，有A 种方法；
(3)2张2一起出，3张A一起出，有A 种方法；
(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C A 种方法；
(5)2张2分开出，3张A一起出，有A 种方法；
(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C A 种方法.
因此，共有不同的出牌方法A +A +A +A A +A +C A =860种.

2.二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？
解：由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部 f(0)=c＜0;a＜0,开口向下，原点在内部 f(0)=c＞0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲，原点在其内部 af(0)=ac＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有C C A A =144条.

3.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.
(4)全体排成一行，男、女各不相邻.
(5)全体排成一行，男生不能排在一起.
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.
解：(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择.有A 种，其余6人全排列，有A 种.由乘法原理得A A =2160种.
(2)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有A 种，余下的6个位置全排有A 种，但应剔除乙在最右边的排法数A A 种.则符合条件的排法共有A A －A A =3720种.
(3)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有A A =720种.
(4)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A A =144种.
(5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有A A =1440种.
(6)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A =N×A ，∴N= = 840种.�
(7)与无任何限制的排列相同，有A =5040种.
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A 种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A A .最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可.共有A ×A ×A =720种.

4.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.
解：首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档.将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数.对应关系是：以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C 种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有 种；若没有小盒插入最左侧空档，有C 种.由加法原理，有N= =120种排列方案，即有120种放法.

5.甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？
解：每人随意值两天，共有C C C 个；甲必值周一，有C C C 个；乙必值周六，有C C C 个；甲必值周一且乙必值周六，有C C C 个.所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有N=C C C －2C C C + C C C =90－2×5×6+12=42个.

6.从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示).
解析：因为直线过原点，所以C=0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A、B两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A =30.

7.圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________.
解析：2n个等分点可作出n条直径，从中任选一条直径共有C 种方法；再从以下的(2n－2)个等分点中任选一个点，共有C 种方法，根据乘法原理：直角三角形的个数为：C •C =2n(n－1)个.

Answer 2

全排列就是N个不同东西排成一排的排法，排法的总数为N的阶乘。

Answer 3

要排顺序的就是排列，不用排顺序的就是组合
全排列就是所有的数都要排顺序，除掉一些是因为哪些是个别要特殊对待

Answer 4

其实排列组合的规律性是很强的，出题基本上就那几个类型，关键是在平时的练习中要善于总结。有些看上去不一样的题目其实质是一样的。全排列就是所有的排列方式的总和，它除掉一些数的原因是要考虑顺序，你们书上应该都有的。祝学习进步~

Answer 5

将A
B
C
D四名学生分到三个不同的班，每班至少分到一名同学，说明有一个班分到两人
考虑这分到一个班的两人的组合，可能种数：4*3/2-1=5
（-1是去掉A
B两同学分到同一班的情况）
这时，就出现了3组学生：两组是1人一组，一组是2人
只需要一个全排列即可：
3*2*1=6
总情况：5*6=30种