这是一个高中数学问题：

Question

在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和sn满足sn=1/2(an+1/an)
（1）求a1,a2,a3 ；（2） 由（1）猜想数列{an}的通项公式；（3）求sn

Answer 1

在各项为正的数列{a‹n›}中，数列的前n项和s‹n›æ»¡è¶³s‹n›=1/2(a‹n›+1/a‹n›)
（1）求a₁,a₂,a₃；（2） 由（1）猜想数列{a‹n›}的通项公式；（3）求s‹n›
解：a₁=S₁=(1/2)(a₁+1/a₁)=(1/2)(a₁²+1)/a₁
故2a₁²=a₁²+1,∴a₁=1.
S₂=a₁+a₂=1+a₂=(1/2)(a₂+1/a₂)=(1/2)(a₂²+1)/a₂
故有2a₂+2a₂²=a₂²+1,， a₂²+2a₂-1=0, ∴a₂=(-2+√8)/2=-1+√2
S₃=a₁+a₂+a₃=1+(-1+√2)+a₃=√2+a₃=(1/2)(a₃²+1)/a₃
2(√2)a₃+2a₃²=a₃²+1,， a₃²+2(√2)a₃-1=0，∴a₃=(-2√2+√12)/2=-√2+√3.
a₁=1；a₂=√2-1， a₃=√3-√2, ...........,a‹n›=√n-√(n-1)
故S‹n›=1+(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+....+[√(n-2)+√(n-3)]+[√(n-1)-√(n-2)]+[(√n-√(n-1)]=√n

Answer 2

（1)S1=1/2(a1+1/a1) 得 2a1=a1+1/a1 得 a1=1/a1 所以a1=1
s2=1/2(a2+1/a2) 由此可得a2= -1；
以此类推a3=1;

Answer 3

（1）把n代为1，可得a1=1
则a2=根号2-1,a3=根号3-根号2
（2）猜想an=根号n-根号(n-1)(n>=1)
=1(a=1)
（3）Sn=根号n+1

Answer 4

解：（1）由a1=S1=1/2(a1+1/a1)解得a1=1.
由a2=S2-S1=1/2(a2+1/a2)-1/2(a1+1/a1)得(a2)^2+2(a2)=1 解得a2=（根号2）-1。
由a3=S3-S2=1/2(a3+1/a3)-1/2(a2+1/a2)得(a3)^2+2(根号2）(a3)=3 解得a3=（根号3）-（根号2）。
（2）由（1）猜想得 an=(根号n)-(根号(n-1)).
(3)于是Sn=1+((根号2)-1)+((根号3)-(根号2))+……+（(根号n)-(根号(n-1))）=根号n。