线性代数矩阵证明问题

Question

设a+b+c=π,证明矩阵丨111
tana tanb tanc
sin2a sin2b sin2c丨
=0

Answer 1

第一列乘以-1加到第二三列，再按第一列展开得到一个二阶行列式，解得
[tanb-tana]×[sin2c-sin2a] － [tanc-tana]×[sin2b-sin2a]
＝[sinb/cosb-sina/cosa]×2cos(a+c)sin(c-a)－[sinc/cosc-sina/cosa]×2cos(a+b)sin(b-a)
＝-2sin(b-a)/(cosacosb)×cosbsin(c-a) ＋2sin(c-a)/(cosacosc)×coscsin(b-a)
＝-2sin(b-a)sin(c-a)/cosa ＋ 2sin(c-a)sin(b-a)/cosa
＝0