函数y=log1/2(x²-2mx+3)在（－∞，1）上为增函数，则实数m的范围是多少？要详细过程

Question

我知道（－∞，1）≤（－∞，m)则m≥1
再把x≡1代人得1-2m+3≥0 则m≤2 但是为什么要把1代人，增函数在区间上最小值应该是－∞啊，为什么是1，求高手解答，详细些

Answer 1

此题中要考虑两个条件：第一是函数定义域；第二是函数为增函数的条件
这个函数是一个复合函数，若复合后函数为增函数，那么要求这两个复合的函数各自的单调性是相同的，而对数函数为单调地增函数，所以要求f（x）=1/2(x²-2mx+3)也为增函数，亦即g（x）=(x²-2mx+3)为单调减函数，用求导的方法求满足单调递减的条件为g（x）的导数值在定义域区间里恒负，即2x-2m<0所以m>x,所以m>Xmax=1,但是定义域不包括1，所以m=1也可以，即m≥1
，这是基于第二点的考虑；
对于第一点的考虑：有1/2(x²-2mx+3)>0在定义域区间里恒成立，所以也就是f（x）=1/2(x²-2mx+3)在最小的时候也应当大于0；什么时候f（x）取最小值呢，也就是g（x）=(x²-2mx+3)最大的时候，因为前面的分析得到了要使y=log1/2(x²-2mx+3)在（－∞，1）上为增函数，必须g（x）=(x²-2mx+3)为减函数，所以在x最小的时候函数值最大，但这样就没办法继续分析下去了；我们换个角度看要保证函数有意义，则x²-2mx+3>0恒成立，变化一下得：(x-m)^2+3-m^2>0;不难知道(x-m)^2在x=m时是最小的，为0，但m≥1，所以x=m不能成立，而又x=1时是最小的，那么在x=1的情况下若(x-m)^2+3-m^2>0则函数f（x）=1/2(x²-2mx+3)都是大于0的；所以得到(1-m)^2+3-m^2>0；解得m<2，又因为x不能为1，所以m=2也成立，即得m≤2

追问

“用求导的方法求满足单调递减的条件为g（x）的导数值在定义域区间里恒负”什么意思，什么是求导的方法。“什么时候f（x）取最小值呢，也就是g（x）=(x²-2mx+3)最大的时候”，不是应该让x²－2mx＋3最小吗？怎么是最大了？我想问的是为什么x=1时，x²-2mx+3最小，你说的有点复杂，我不太懂哎

Answer 2

m>或=2，或m<根号3

Answer 3

1/2是什么？？？

追问

1/2 是底数

追答

m>=1的原因你应该已经清楚了吧
但是必须知道对数函数的真数>0,所以当x在（－∞，1）时，x²-2mx+3>0。有什么不懂的继续问我吧～～

追问

真数要大于0，要在区间内，得代人一个数吧，为什么要把1代人x²-2mx+3>0？

追答

为了使log1/2(x²-2mx+3)为增函数，x²-2mx+3必须递减是不是？（－∞，m)就是递减区间
在（－∞，1)上，函数x²-2mx+3最小值在x=1处取到
x²-2mx+3>0,在（－∞，1)上体现为其最小值必须>0，欢迎继续提问～～～
关于求导的方法就是微积分的范畴通过函数斜率变化来得出结果，但是用在这道题身上有点……

追问

“在（－∞，1)上，函数x²-2mx+3最小值在x=1处取到”是不是因为在（－∞，1)上，x²-2mx+3是递减的，所以当x最大时，函数最小啊？

追答

没错！就是这个意思。同时因为是开区间，所以m=2也没有关系