椭圆在y轴的焦半径公式推导

Question

是不是椭圆上一点到定直线 y＝a²/c的距离与点到焦点距离之比？

Answer 1

用类比法。
焦点在 x 轴时，|PF1|＝a＋ex，|PF2|＝a-ex，
焦点在 y 轴时，|PF1|＝a＋ey，|PF2|＝a-ey。
证明：设P(x，y)是椭圆 y²/a²ï¼‹x²/b²ï¼1 上一点，F1(0，-c)、F2(0，c)是下、上焦点，
由于 |PF1|＋|PF2|＝2a，因此设 |PF1|＝a＋t，|PF2|＝a-t，
所以 (a＋t)²ï¼(x-0)²ï¼‹(y＋c)²ï¼Œâ‘ 
(a-t)²ï¼(x-0)²ï¼‹(y-c)²ï¼Œâ‘¡
① - ② 得 4at＝4cy，
因此 t＝cy/a＝ey，
所以 |PF1|＝a＋ey，|PF2|＝a - ey。
则