求椭圆的焦半径公式推导

Answer 1

证明：

|PF1|²

=(x - c)² + y²

=[a²(x - c)² + a²y²]/a²

=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² 根据b²x² + a²y² = a²b² 

=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²

=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²

=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²

=(a² - cx)²/a²

∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex

同理可证：PF2 = a + ex

扩展资料：

椭圆的基本性质

1、范围：焦点在  轴上  ，  ；焦点在  轴上  ，  。

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）。

5、离心率范围：0<e<1。

6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。

Answer 2

设点P（x，y）在椭圆上，
|PF2|为右焦半径，
右边准线为x=a²/c，
由椭圆第二定义，
e=|PF2|/(a²/c-x)，
所以，|PF2|=e(a²/c-x)=c/a·a²/c-ex=a-ex
另一半同理可证。

Answer 3

证明：
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²

∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex

同理可证：PF2 = a + ex
参考http://wenku.baidu.com/link?url=3AXO2an1jaP-hMNExJyHdTjre6LewGgLQ7suSS6fOiI0L6MyCXPNVpBYAJWzxVSaQ2ct5IwwvxYHqPDDwEVPXtomuqufJOisuhCqTRXBQcC