已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2=1相切，求b取值范

Question

已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2=1相切，求b取值范围；（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；（3）证明：2+322+432+…n+1n2＞1n（n+1）（n∈N*）．

Answer 1

（1）∵f′(x)＝

1

x

+2ax+b(x＞0)，∴f′（1）=1+2a+b，
其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．
由切线与圆x²+y²=1相切可得

|1+a|

(1+2a+b)′(x)＝ 1 x ?(1+b)x+b= ?[(1+b)x+1](x?1) x （x＞0）． ①b=-1时，f′(x)＝ ?(x?1) x ，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减． ②当-2＜b＜-1时， ?1 1+b ＞1，由f′（x）＞0解得1＜x＜ ?1 1+b ，函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0，解得x＞ ?1 1+b 或0＜x＜1，函数f（x）单调递减． ③当b＜-2时，0＜ ?1 1+b ＜1，由f′（x）＞0解得 ?1 1+b ＜x＜1，函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜? 1 1+b ，函数f（x）单调递减． ④当b＞-1时， ?1 1+b ＜0，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增； 由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减． （3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减． ∴f（x）＜f（1），即lnx-x2+x＜0，令x＝1+ 1 n ，可得ln(n+1)?lnn＜ 温馨提示：内容为网友见解，仅供参考 当前网址：https://aolonic.com/aa/31nd55kwggw335544n.html 其他看法 无其他回答 相似回答 大家正在搜 奥礼网 - 免责声明 - 关于 - 联系 本页内容来自于网络，若涉及权益，请点击【举报该文章】 联系电邮