已知x、y、z都是正数，x^2+xy+y^2=1,y^2+yz+z^2=3,z^2+zx+x^2=4,求x+y+z的值。

Question

要过程哦！
等式两边能同乘以0么？若x=y 那么 x-y 不就为0了么？

Answer 1

√7
三元方程组啊，可以解的，告你个稍微简单的方法，式子分别乘（x-y），（y-z），（z-x），变成
x^3-y^3= x-y,
y^3-z^3=3(y-z),
z^3-x^3=4(z-x).
三式相加：0=-3x+2y+z
然后把z=3x-2y代入前两个式子，求出三组结果，x=2√7/7,y=√7/7,
z=4√7/7,另外两组因为不满足都是正数，舍去。（0，1，-2）（0，-1，2），所以和为√7
不知道对不对，不过这个题目挺迷惑人的，楼上就被迷惑了
引用楼下的：
你说的x=y不可能，因为若相等，那后两个式子右边应该相等，同理可证x=z,y=z不可能

Answer 2

x^2+xy+y^2=x^2+y^2-2xycos120=1
这个式子可以看成一个三角形OAB，OA=x，OB=y，OA和OB的夹角为120度，AB=1
同理可以得到OC=z，OB和OC夹角为120度，BC=根号3
OA和OC夹角为120度，AC=2
组成直角三角形
有三角形面积得xy*sin120+yz*sin120+zx*sin120=2
xy+yz+zx=4
所以(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx
=((x^2+xy+y^2)+(y^2+yz+z^2)+(z^2+zx+x^2)+3(xy+yz+zx))/2=[2*(1+3+4)+3*4]/2=7
所以x+y+z=根号7

Answer 3

无解

Answer 4

突然想起这道题我做过，高中当时就是生解，似乎没有更好的办法了，另外你说的x=y不可能，因为若相等，那后两个式子右边应该相等，同理可证x=z,y=z不可能

Answer 5

上面两种解法都是对的，我再提供一种
x^2+xy+y^2=1⑴,y^2+yz+z^2=3⑵,z^2+zx+x^2=4⑶,
⑵-⑴=（z-x)(x+y+z)=2
⑶-⑵=(x-y)(x+y+z)=1
⑶-⑴=(z-y)(x+y+z)=3
⑴+⑵+⑶=2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+zx
=(x+y+z)^2+1/2[(x-y)^2+(z-x)^2+(z-y)^2]=8
令x+y+z=t
则t^2+1/2(4/t^2+1/t^2+9?t^2)=8
解得t=1或√7
t=1舍去
所以t=√7
即x+y+z=√7