已知f(x)＝ax?lnx，x∈(0，e]，g(x)＝lnxx，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极

Answer 1

(1) 当 a=1 时，f(x) = x - lnx，f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x。当 0 < x < 1 时，f'(x) < 0，此时 f(x) 单调递减；当 1 < x e 时，f'(x) > 0，此时 f(x) 单调递增，所以 f(x) 有极小值为 f(1) = 1。

(2) 由 (1) 知，f(x) 的极小值为 1，即 f(x) 在 (0，e] 上的最小值为 1，所以 f(x)min = 1。令 h(x) = g(x) + 1/2 = lnx/x + 1/2，则 h'(x) = 1 - ln(x)/x^2，当 0 < x e 时，h'(x) > 0，h(x) 在 (0，e] 上单调递增。因此，h(x)max = h(e) = 1/e + 1/2 1/2 + 1/2 = 1 = f(x)min。因此，在 (1) 的条件下，f(x) > g(x) + 1/2。

(3) f(x) = ax - lnx，x ∈ (0，e]，f'(x) = a - 1/x = ax - 1/x。当 a ≤ 0 时，因为 x ∈ (0，e]，所以 f'(x) < 0，所以 f(x) 在 (0，e] 上单调递减，f(x)min = f(e) = ae - 1 = 3。解得 a = 4e，舍去。当 0 < 1/a < e 时，f(x) 在 (0，1/a) 上单调递减，在 (1/a，e] 上单调递增，所以 f(x)min = f(1/a) = 1/ln(a) = 3。解得 a = e^2，满足条件。当 1/a ≥ e 时，因为 x ∈ (0，e]，所以 f'(x) ≤ 0，所以 f(x) 在 (0，e] 上单调递减，f(x)min = f(e) = ae - 1 = 3。解得 a = 4e，舍去。综上，a = e^2，使得当 x ∈ (0，e] 时 f(x) 有最小值 3。