已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调

Question

已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+ ；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=    ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减 当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增   ∴f（x）的极小值为f（1）=1                   （Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1， ∴f（x）＞0，f（x） min =1 令h（x）=g（x））+  =  +  ，  ， 当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增   ∴h（x） max =h（e）=  ＜  =1=|f（x）| min       ∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+  ； （Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=  ①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x） min =f（e）=ae﹣1=3， ∴a=  （舍去），所以，此时f（x）无最小值． ②当0＜  ＜e时，f（x）在（0，  ）上单调递减，在（  ，e]上单调递增， f（x） min =f（  ）=1+lna=3，∴a=e 2 ，满足条件． ③当  时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减， f（x） min =f（e）=ae﹣1=3，∴a=  （舍去），所以，此时f（x）无最小值． 综上，存在实数a=e 2 ，使f（x）的最小值是3．