五年级奥数题：10个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒子内，

Question

10个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，那么不同的放法有多少种？

书上答案为5，我认为不对，应该是12。请教高手，正确解题方法。

问题补充：我是这样想的：先1，2，3号盒子放1、2、3，剩余4个球；
这四个球，每一个球都有三种放法：或放入盒1，或放入盒2，或放入盒3.
所以：一共4×3＝12种放法。
上述思路有错误吗？

Answer 1

首先说你的思路错在了两个地方。

这个题的关键点在于，10个小球是相同，但是三个盒子是不同的，所以对于每种放法，其结果可以用一个有序的数组表示(a,b,c)。“不同放法”中的“不同”是指a或者b或者c取不同的值。比如，(a,b,c)＝(2,3,5)，只要三个盒子中的球数满足这样一个关系，那么不管10个球当中的哪两个放在第一个盒子里，哪三个放在第二个盒子里，哪五个放在第三个盒子里，都是一种结果而已。按照你的想法，若每个球都有三种放法，也就是其中一个球怎么放和其它球是没有关系的，那么，就很可能把一个结果当成了不同的结果对待了。其实，如果把这10个球也编上号，那么你的思路应该是对的。

但是，即使你的思路是对的，那你的结果也不对，这就是第二错误。四个球，一个球有三种放法，这应该是排列组合当中的乘法原理，结果应该是3×3×3×3＝81种结果，不是12种。

好了，现在说这道题的正确解法。首先，也是先在每个盒子分别放入1、2、3个小球，之后的问题就是怎么把四个小球分为三组，每组的个数最小为零个，最大为四个，而且有顺序。这便有四种分法，即
4＝1＋1＋2， ……①
4＝0＋2＋2， ……②
4＝4＋0＋0， ……③
4＝0＋1＋3， ……④

再考虑顺序的问题。第①种分法中，有三种顺序，即
4＝1＋1＋2＝1＋2＋1＝2＋1＋1；
第②种分法中，有三种顺序，即
4＝0＋2＋2＝2＋0＋2＝2＋2＋0；
第③种分法中，有三种顺序，即
4＝4＋0＋0＝0＋4＋0＝0＋0＋4；
第④种分法中，有六种顺序，即
4＝0＋1＋3＝0＋3＋1＝1＋0＋3＝1＋3＋0＝3＋1＋0＝3＋0＋1。

所以，最后结果应该是3＋3＋3＋6＝15种放法，而不是答案给出的5种。
其实可以检验，把这15种顺序分别加上1、2、3得到最终结果，逐一进行检验，都符合题目要求，而且没有重复。

Answer 2

我认为你的想法有一定漏洞，因为就算每一个球有三种放法，也应该是3*3*3*3=81，当然，这种思路有错误。
我有一种比较保险也容易想的方法，那就是枚举：4个球放入3个盒子，盒子里允许不放球，而且要考虑盒子的顺序（因为有不同的编号），那么我们从一号盒子开始，依次考虑它的个数情况，请看下表：
编号 1 2 3
个数 0 0 4
0 1 3
0 2 2
0 3 1
0 4 0
1 0 3
1 1 2
1 2 1
1 3 0
2 0 2
2 1 1
2 2 0
3 0 1
3 1 0
4 0 0
我认为答案应该是1+2+3+4+5=15种，以上方法我觉得很可行，希望它能为你提供一些想法和思路。

Answer 3

有误，注意小球都是相同的，而你的放法就有差别了，不过我算的结果是14种。

Answer 4

错了
每个球都有3中方法，所以是3*3*3*3，而不是4*3

Answer 5

思路上没错，但你忘了有相同的数量放法，你除去相同的就 剩5中了