已知函数f(x)=㏑(ax+1)+x^3\3-x^2-ax(a∈R)

Question

)(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数的值(2)若y=f(x)在[3,﹢∞)+上为增函数,求实数a的取值范围(3)若a=-1,方程f(1-x)=(1-x)^3\3+b\x有实根，求实数b的最大值

Answer 1

(1)f’(x)=a/(ax+1)+x^2-2x-a,a/(2a+1)-a=0,a=ax(2a+1),则a=0

(2)y=f(x)在[3,﹢∞)+上为增函数,ax+1>0,对x在[3,﹢∞)成立，a>-1/x,令x趋于正无穷，得a>=0,对f’(x)=a/(ax+1)+x^2-2x-a求导得，g(x)=-a^2/(ax+1)^2+2x-2,当x>=3时，g(x）>=4-a^2/(ax+1)^2>=4-a^2/(3a+1)^2>4-(a/3a)^2=4-(1/3)^2>0,即g(x)在[3,﹢∞)递增，故只须f’(3)=a/(3a+1)+3^2-2x3-a>=0,解得（3-√13）/2=<a<=(3+√13)/2,由上面a>=0,得a的取值范围为0=<a<=(3+√13)/2。

（3）a=-1则f(x)=ln(-x+1)+x^3/3-x^2+x（x<1）,f(1-x)=ln(x)+(1-x)^3/3-(1-x)^2+1-x(0<x<1)=(1-x)^3/3+b/x有实根
则ln(x)-(1-x)^2+1-x=b/x有实根
即ln(x)-1+2x-x^2+1-x=b/x
ln(x)-x^2+x=b/x
得b=xln(x)-x^3+x^2
令h(x)=xln(x)-x^3+x^2（0<x<1）
求b的最大值 即求函数h(x)的最大值。
h’(x)=ln(x)+1-3x^2+2x
h’（1）=0,x趋于0，h’(x)趋于负无穷，h’’（x）=1/x-6x+2,解得h’(x)在（0,1+√7/6)递增，在（1+√7/6，1）递减，h(x）在（0,1）先减后增。h(1)=0当x趋于0时，h(x）趋于0，故b的上确界为0. 这题应该求取值范围吧，取不到最值。

追问

这道题老师没给答案我也不知道，不过无穷分之无穷应该是用罗必塔法则的

追答

确实是用罗必塔法则的

追问

……其实我也不知道对不对先给你满意好啦，毕竟你的比较全……

Answer 2

已知函数f(x)=ln(ax+1)+x^3-x^2-ax
1.若x=2/3为y=f(x)的极值点，求实数a的值
2.若y=f(x)在[1,+∞)为增函数,求实数a的取值范围
1、由f(x)=ln(ax+1)+x^3-x^2-ax知ax+1>0 x>-1/a
因函数y=ln(ax+1)是增函数，而原函数在x=2/3时有极值，故y=x^3-x^2-ax在点x=2/3处有极值，对此函数求导得：y'=3x^2-2x-a故x=2/3时，y'=0 3*(2/3)^2-2*3/2-a=0 4/3-4/3-a=0 a=0
2、若y=f(x)在[1,+∞)为增函数，而函数y=ln(ax+1)是增函数，故y=x^3-x^2-ax是增函数，导数y'>=0，即3x^2-2x-a>=0(x>=1时）设y=3x^2-2x-a，导数y'=6x-2>0(x>=1时)故y在x>=1时是增函数，最小值在x=1处，此时y=3-2-a>=0 a<=1另ax+1>0 在x>=1时恒成立，故a>0综合有：0<a<=1

追问

题干……

Answer 3

f’(x)=a/(ax+1)+x^2-2x-a
（1）a/(2a+1)-a=0
a=a*(2a+1)
则a=0
（2）f’(3)≥0
则a/(3a+1)+3-a≥0
若a＞-1/3
则a≥（3-a）*(3a+1)
即a≥9a+3-3a^2-a
3a^2-7a-3≥0
解出a的范围
若a＜-1/3
则a≤（3-a）*(3a+1)
解出a的范围
（3）a=-1则f(x)=ln(-x+1)+x^3/3-x^2+x（x＜1）
f(1-x)=ln(x)+(1-x)^3/3-(1-x)^2+1-x(0＜x＜1)
=(1-x)^3/3+b/x有实根
则ln(x)-(1-x)^2+1-x=b/x有实根
即ln(x)-1+2x-x^2+1-x=b/x
ln(x)-x^2+x=b/x
b=xln(x)-x^3+x^2
令g(x)=xln(x)-x^3+x^2（0＜x＜1）
求b的最大值 即求函数g(x)的最大值。
g’(x)=ln(x)+1-3x^2+2x
g’’（x）=1/x-6x+2=0
则g’(x)在（0,1）先增后减。
故g’(1)=3/2.g’(0)＜0
则g(x)在（0,1）先减后增。故b的最大值为1/6

追问

（2）中，为何要用-1\3来做分类？