高中数学 ，等差数列 和 等差数列前n项合的公式，性质。

Question

谢谢 要全面的 ， 书上 没有的 。两个性质 和公式都要 特别是等差数列前n项和 特别的公式~！ 速求~！

Answer 1

前n项和公式　　S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2
n是正整数
推论　　一.从
通项公式
可以看出，a(n)是n的
一次函数
(d≠0)或
常数函数
(d=0)，(n，an)排在一条
直线
上，由前n项和公式知，S(n)是n的
二次函数
(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且
常数项
为0。
　　二.
从等差数列的
定义
、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
　　=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}
　　三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=
　　(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。
　　若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)
　　(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)
　　p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p
　　(q))
　　四.其他推论
　　①
和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2
　　(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
　　②
首项=2和÷项数-末项
　　③
末项=2和÷项数-首项
　　(以上2项为第一个推论的转换)
　　④
末项=首项+（项数-1）×公差
　　(上一项为第二个推论的转换)
　　推论3证明
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)
　　+a(q)
　　如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d
　　=2*a(1)+(m+n-2)*d
　　同理得，
　　a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d
　　又因为
　　m+n=p+q
;
　　a(1),d均为常数
　　所以
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
　　注：1.常
数列
不一定成立
　　2.m,p,q,n大于等于自然数⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S
可以写成S
=
an^2
+
bn的
形式
(其中a、b为常数)．
　　⑵在等差数列中，当项数为2n
(n
N
)时，S
－S
=
nd，
=
；当项数为(2n－1)
(n
)时，S
－S
=
a
，
=
．
　　⑶若数列为等差数列，则S
n，S2n
－Sn
，S3n
－S
2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d
．
　　⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S
、T
(n为
奇数
)，则
=
．
　　⑸在等差数列中，S
=
a，S
=
b
(n＞m)，则S
=
(a－b)．
　　⑹等差数列中，
是n的一次函数，且点（n，
）均在直线y
=
x
+
(a
－
)上．
　　⑺记等差数列的前n项和为S
．①若a
＞0，公差d＜0，则当a
≥0且a
≤0时，S
最大；②若a
＜0
，公差d＞0，则当a
≤0且a
≥0时，S
最小．