函数可积一定存在原函数吗？

Question

函数可积一定存在原函数吗？可积的充分条件说：在闭区间上有界且只有有限个间断点则函数可积，但满足这个条件不一定有原函数对吗？比如闭区间上有界且存在一个第一类间断点，这时函数可积，但不存在原函数，这个结论对吗？

Answer 1

函数可积不一定存在原函数。按条件的强度来说，可积是个较弱的条件，因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。” 可积的必要条件就是函数有界。

函数可积，只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件，也就是说，闭区间连续一定可积，且必有原函数，而且该函数的原函数一定可导。

可导是比连续更强的条件，也就是说可导——》连续——》可积。

可微是很强的条件，比可导还强，一元函数二者等价，多元函数可微比可导强。

偏导数连续（我认为）是最强的条件，可以推出上述的一切条件。一个函数如果可导，那么它的导函数是不可能存在第一类间断点的，所以说一个函数如果存在第一类间断点，那么它是不会有原函数的。

扩展资料：

可积函数充分条件：

（1）设  在区间  上连续，则 在 上可积。

（2）设  区间  上有界，且只有有限个间断点，则 在  上可积。

（3）设  在区间  上单调有界，则  在  上可积。

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

Answer 2

函数可积不一定存在原函数。 因为这是两个概念，函数可积指的是函数的定积分存在，而函数存在原函数则是涉及不定积分的概念。

一个函数，可以存在不定积分，而存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

扩展资料：

函数可积的相关性质：

1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

参考资料来源：百度百科-定积分

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 3

函数可积不一定存在原函数。 

可积是只定积分，而定积分可积的必要条件是函数有界；可积的充分条件有：连续；或有界且只有有限个间断点；或单调。同时注意到f（x）在x=0处是间断的，只不过. 是第二类间断点；存在第一类间断点的函数是不存在原函数的。 

积分的主要任务就是找到原函数。不过有的可积函数是找不到原函数的！可积但原函数不一定存在,原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)一定可积且原函数存在；若函数f(x)在区间[a,b]上存在有限个间断点，则函数f(x)一定可积，而原函数的存在性需要通过判断间断点的连续性来得出原函数是否存在。

扩展资料

原函数的定义：如果在区间I上，F’(x)=f(x)那么称F(x)是f(x)在区间I上的原函数（或反导数）。如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中的任何两个原函数之间只相差一个常数。

不定积分的定义：函数f(x)在区间I上所有原函数的一般表达式称为f(x)在I上的不定积分，记作

对于原函数的存在性有如下两个重要结论：

1、如果在区间I上函数f(x)连续，则函数f(x)在区间I上存在有原函数。

2、如果在区间I上函数f(x)有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间I上没有原函数，如果函数在区间I上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数。

Answer 4

个人理解：按条件的强度来说，可积是个较弱的条件，因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。” 可积的必要条件就是函数有界。函数可积，只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件，也就是说，闭区间连续一定可积，且必有原函数，而且该函数的原函数一定可导。可导是比连续更强的条件，也就是说可导——》连续——》可积。可微是很强的条件，比可导还强，一元函数二者等价，多元函数可微比可导强。偏导数连续（我认为）是最强的条件，可以推出上述的一切条件。你可以按我说的画个推导图，好好找找这些个概念的章节再好好理解一下。你的最后一问，其实你反过来想，一个函数如果可导，那么它的导函数是不可能存在第一类间断点的，所以说一个函数如果存在第一类间断点，那么它是不会有原函数的。[]

Answer 5

问题一：否，若f(x)存在原函数F(x),那么F'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳跃间断点，必然，f(c 0)≠f(c-0),这就导致F'(c 0)≠F'(c-0)，故F'(c)不存在，与F'(c)=f(c)矛盾。可去间断点F'(c 0)=F'(c-0)，但是显然他们都不等于F'(c)[例如F'(c 0)=f(c 0)≠f(c)],事实上，函数存在第一类间断点，必然没有原函数。
问题二：是。有限个间断点不影响可积性，若存在原函数F‘(x)=f(x),根据函数的性质，可导函数必连续，可知F(x)连续。