已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（

Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）求证：f（nx）=nf（x），n∈N*（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-n，n]（n∈N*）上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），①
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）（2分）
∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，（1分）
即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数（3分）
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时等式显然成立
（2）假设当n=k（k∈N^*）时等式成立，即f（kx）=kf（x），（4分）
则当n=k+1时有f（（k+1）x）=f（kx+x），由①得f（kx+x）=f（kx）+f（x）（6分）
∵f（kx）=kf（x）
∴f（kx+x）=kf（x）+f（x）=（k+1）f（x）
∴当n=k+1时，等式成立．
综（1）、（2）知对任意的n∈N^*，f（nx）=nf（x）成立．（8分）
（Ⅲ）解：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，因函数f（x）为奇函数，结合①得
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）（9分）
∵x₂-x₁＞0
又∵当x＞0时，f（x）＜0
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在R上单调递减（12分）
∴f（x）的最大值为f（-n），最小值为f（n）
由（Ⅱ）得f（n）=nf（1）
又∵f（1）=-2，f（n）=nf（1），
∴f（n）=-2n，f（-n）=-f（n）=2n
∴f（x）的最小值为-2n，最大值为2n