已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0给出以下

Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0给出以下结论：①f（0）=1；②f（x）为R上的奇函数；③|f（x）|为R上的偶函数；④f（x）为R上的增函数⑤f（x）+1为R上的减函数；其中正确的结论有______．

Answer 1

∵定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，故①错误；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为R上的奇函数，故②正确，③错误；
在R上取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）为R上的增函数，故④正确，⑤错误．
故选②④．