龟兔赛跑悖论能否说明时间是离散的？

Answer 1

挑了一篇相关的文字，你看看，是与否我无法回答。
——新龟兔赛跑关于时间和空间的连续性

新龟兔赛跑关于时间和空间的连续性 哲学家芝诺曾经提出过一个著名的悖论（有时称为佯谬），这个悖论描述了一个以乌龟和赛跑者的一次赛跑比赛为内容的理想实验。他用这个理想实验证明他的”静止”世界观。芝诺悖论的原文我已经记不清楚，但是，我们可以讨论一个经过“改装”的龟兔赛跑的故事，来讨论一些关于时空连续性的问题，故事如下： 继赛跑之后，为了公平起见，兔子和乌龟决定再进行一次“堆石子”比赛。 裁判给定乌龟和兔子每人一个容积为1（单位）的量桶和一定数量（足够多）的石子，要求他们在有限长的时间用石子把各自的量桶堆满。先堆满的为胜。当然，石子的直径小于量桶的直径。 首先，给定石子直径近似于量桶的直径并且刚好可以放入量桶。 毕竟乌龟的动作还是很慢，相比之下，兔子要快很多，第一次，兔子首先将量桶堆满。 然后裁判给出直径较小的石子。 意料之中，兔子将用稍长一点的时间，仍然先于乌龟将量桶堆满。 然后给出直径更小的石子。兔子完成的时间要更长一些但是一定可以在有限的时间完成。而这时乌龟仍然因为动作较慢而晚于兔子。 由此推论，当给出体积无穷小的而数量无穷大的石子的时候，兔子能否在有限的时间完成呢？根据上述推论，乌龟所用的时间有限性将决定于兔子。 当兔子搬运石子的频率是有限的，那么，兔子将在无限长的时间完成或者说永远不能完成。 如果兔子搬运石子的频率是无限大的，那么它是否可以在有限的时间内完成比赛呢？ 这首先需要我们给出无限的定义。 我们认为的无限大，通常是指“要多大就有多大”或者等价的说，比任何一个给定的数量都大，除此之外，无限不具有一个良好的定义。至于这个定义的数学形式可以简单的描述为：当给定任意正数N， N的倒数1/N 将可以比某数e小。可是完全可以给出e’N。如果可以给出数e’’可以使得任意给定的N’’的倒数都大于它;或者说，如果可以给出N’’使得它的倒数小于任意给定的e’’，那么1/N’’可以叫做在这个过程中的无穷小。同时的N’’由于使得1/N’’成为无穷小而成为无穷大。在这里，无限大被称为无穷大，而无限小被称为无穷小。 有上述定义可知，如果兔子搬运石子的频率是无穷大的，也就是说，如果不考虑石子的体积，那么完成1单位的搬运工作所需的时间无穷小，兔子将几乎不用时间完成比赛。可是，考虑到石子的体积也是无穷小的。兔子搬运频率的无限性必须依赖于石子体积的无限性。这等价于无穷量之间的比较。 需要指出的是，这个定义的成立，必须依赖这个定义所描述的过程的完成。具体的说，也就是我们必须给定N得到e，然后给定e得到N’，然后给定N’得到e’，如此下去。我们将永远不能完成这个过程，但是，从这个过程的推演中得到了上述的定义。 对于数学，我们可以假定无穷时间上，这个过程得以完成，然后，应用这个概念处理其他的问题。然而，对于时间本身，我们不能够根据我们假定的时间无穷大来使得这个过程完成，从而保证这个定理成立。具体的说，如果定理成立，那么无穷大的时间必须在无穷大的时间上得以证实，可是，无穷大的时间又必须在无穷大的时间上得以证实，否则不能够给出这个定理。定理本身和无穷大时间等价，并未给出任何证明。当然，无穷小的时间也不可能得到证明。由此可以看出，数学定义的无穷性，是“时间无穷性”在数学上的某种映射。同理可知，其它的关于“无限”的描述，大致和数学定义的无穷性类似－这些无穷性都以时间无穷性为基础，等价的是，时间无穷性不能够以任何的其它无穷性定义。 举例来说，当我们定义一个无穷小的数，这是指当这个数给出之后，经过无穷的时间也不能够给出一个更小的数;这等价为，我们任意给定一个数，总是经过有限的时间可以给出一个更小的数并不成立。当我们说一个无穷大的空间，也是指经过无穷的时间也不能给出一个更大的空间：这等价为，我们给定一个空间的大小，总是经过有限的时间可以给出一个更大的空间并不成立。总之，我们概念中的无穷和如下两个描述等价：只要给出一个“什么”，经过无穷的时间也不能够给出一个更为“怎么”的“什么”（同类事物）。或者说是，如果给出一个“什么”，总在有限的时间（或者说能够）给出一个更“怎么”的“什么”（同类事物）的反命题。 至此，我们可以看到，我们从未证明时间无限本身。相反的，我们应用了时间无限的概念，推演了一切无限的概念。我们使用无限的概念，以及一切无限概念的论断，都只说明了一点，也就是我们认为无限存在，这个观念一直存在。而对于无限本身是否存在，我们既没有证明过“是”，也没有证明过“否”。 时间的无限性来自于直觉，其它的无限性则依赖于时间无限性本身。那么，时间无限长或者说频率无限大的说法是没有定义的。更进一步的说，石子的无限小体积，也同样的依赖于对时间无限的理解，也没有一个确实可行的定义。 那么是否存在无穷量，也就等价为时间是否是无限的了。 如果时间无限为真，那么无穷量存在为真; 如果时间有限为真，那么无穷量将只在我们认为的无穷时间概念中存在。也就是说，无穷量在现实中的存在不能够得到证实也不能够得到证否。 可是，除非我们亲自经历时间的终止，才可以验证时间的有限性。可是验证者的时间也因为时间终止而终止，所以验证过程无法证明时间的有限。这并不意味着时间必须是无限的，而是说，在任意给定的时间里，时间的有限性将不能够得到直接的证实或者证否。那么，通过什么方式可以得到时间有限或者无限性的有效论证呢？或者说，用什么实验可以证实或者证否呢？ 我们可以首先回到量桶的问题，尝试在这里寻找答案： 对于空间，我们可以避开时间无穷性递归定义的麻烦，假定空间，或者说构成空间的体积可以无穷小。那么堆高1单位体积的量桶，根据定义就必须完成无限多次搬运。可是，我们已经无权使用无限频率这样的概念，无限多搬运的过程就不可能被无限频率所抵消。那么，兔子完成1单位量桶必须使用无限多的时间完成。或者说，兔子不能够在有限的时间完成比赛，最简单的说法是，兔子永远也堆不满这个量桶。 我们也可以考虑，如果乌龟已经在量桶中堆高0.1单位，这时兔子开始堆石子，那么经过多长时间，兔子才能将赶上乌龟呢？（A）然而，这个命题（A）和兔子用无限小的石子独自堆高1单位的量桶（B）是等价的。那么，如果在原来的芝诺悖论中，乌龟已经爬行了一段距离，赛跑者需要多少时间才可以追上乌龟呢？对比时间间隔的粒度和石子体积的粒度。如果时间间隔的粒度和石子体积的粒度一样趋于无穷小，那么，赛跑者真的可以追上乌龟吗？如果考虑到（A）和（B）的等价，自然可以想到， 赛跑者追上乌龟和赛跑者独自完成所有的距离没有区别。这就引发了更大的佯谬：如果时间真的是和石子一样存在一个无穷小的单位，那么， 赛跑者根本就不能够完成任意短的距离（因为完成一个任意短的有限距离也需要无限的时间）。当然乌龟也不能，那么这个世界真的从没有什么东西运动过。可是，这个世界并未发生这样的事情，上述情况明显违背常识。综上所述，有理由相信在物理世界时间粒度必须存在，且不可以是“没有大小”。我们还可以简单的作如下推论：如果无穷量的数学定义仍然可以成立，那么时间长度不可能是无穷大；可是时间长度无穷大不成立，无穷量数学定义则不能够成立。换句话说，在物理世界，并不存在对于数学中无穷量定义的合理应用。同理可知，任何曾经使用的无穷性定义，如空间的无限可分，时间的无限可分，甚至到宇宙的无限广阔的描述，并不具有实际的超越于数学的物理实在性。这样的说法同样冒着“违背常识”的风险。原因是非常简单的。例如，我们总可以将一根木棒一分为二，经过反复的实验，我们可以一直将其细分到相当小的长度。我们也可以考虑把一段时间反复的一分为二，总可以得到一个相当小的时间长度。这些推论显然源于古典二分法的哲学思想。可是，当我们把原子一分为二，意味着什么呢？把原子核一分为二又意味着什么呢？实验证实，到达某个尺度以后，物质的分解变得复杂，而决定物质分解或者变化的，只有物质本身。一分为二或者一分为几是不能够任意选取的。在亚原子尺度，周期性时间的倒数，也就是频率同样是不能够任意选取的，一个最显著的例子是电子跃迁释放光子的频率并非可以任意取值，而光子的能量，更可以表达为普朗克常量和频率的积－能量必须是这个常量的”倍数”。这些事实给出了时空不可任意分割的图象，却还不是一个完整的图景。如果无限性不具有物理实在性。那么，时空的无限可分也就失去，而建立在时空无限可分上的时空连续性也因此而失去了。失去连续性，使得宇宙本身成为一种类似”数字化”的离散体系，可是，人们一定会说：既然说世界是离散的，那么为什么我们从来没有察觉呢？或者更进一步的说，我们的任何仪器为什么没有察觉呢？这似乎就因为我们自身。考虑如下的思想实验：在密闭的温室中，安置一台没有任何智慧的测量温度的机器。它在时间上连续的记录温度，用类似于心电图的装置，在滚动的纸带上记录温度曲线。这台机器本身对温室的温度影响甚微，而温室中的其它因素引起温室温度的变化。机器应在接通电源时持续记录温度，并假定纸带足够长。可是由于某些原因，机器的电源发生故障，电源间歇性的接通和断开，接通时间精确的为3秒，断开时间精确的为1秒。那么当给定时间为60秒，然后检查机器的测量结果，这个结果是怎样的？问题不难回答，结果是一条关于温度的曲线。而且，确切的说，这条曲线并不描述温度的真实变化。因为机器工作的时间事实上只有真实经过时间的3/4。可是，曲线的光滑度会受到影响吗？曲线会只有纸带长度的3/4吗？显然不能。因为如果你并不知道机器的这一故障，你没有任何理由区分温度的变化是由环境还是由机器本身造成的，同样的纸带在没有电能供给的前提下，也是不能走动的。当我看到这条纸带，我并没有严格的证据判断机器是否存在故障，尤其是当环境的温度非常稳定，或者环境温度的强烈变化发生在未被测量的1/4时间内，就更是如此。那么，一个具有更高等智慧的其它生命有能力判断这个故障吗？没有，因为这依赖于信息，而不是对信息的处理。

参考资料：网络

Answer 2

这个问题说明任何问题都有赖于他的前提假设，否则无法讨论
从逻辑上，兔子追不上乌龟的推理是完全正确的，但他取决于他的前提是否成立，用你的话说，时间是否是离散的．但我们的日常生活告诉我们，时间是延续的，所以这个前提在经验里是不能成立的．至于你这个悖论，恰恰说明所谓时间是离散的是不能够成立的，当然这一切都是在经验中．

Answer 3

对兔子来说，睡觉得时间过得比较快，因此，对兔子来说，时间是离散的

Answer 4

除非在兔子追上乌龟的前一刻时间停止了，否则这个悖论什么也说明不了。

Answer 5

极限啊~