已知函数f(x)=x+1/|x| 若关于x的方程f^2(x)-(m+1)f(x)+2m=0有6个不同的实数根

Question

已知函数f(x)=x+1/|x| 若关于x的方程f^2(x)-(m+1)f(x)+2m=0有6个不同的实数根,则实数m的取值范围是_____？

高一数学 求大神指教~~~

Answer 1

函数f(x)=x+1/|x|

当x>0时，

 f(x)=x+1/x≥2√(x*1/x)=2

 当x=1/x,x=1时，取等号，

即x=1,f(x)=2

  0<x<1时，f(x)递减

  x>1时，f(x)递增

当x<0时，f(x)=x-1/x为增函数

 f(x)∈(-∞,+∞)

方程f^2(x)-(m+1)f(x)+2m=0(*)

令t=f(x),则得到关于t的方程

 t^2-(m+1)t+2m=0（#）

先解这个关于t的方程，得到t值，

再由t=f(x)求x值，

方程(*)有6个不同的实数,

设g(t)= t^2-(m+1)t+2m

则需（#）有2个大于2的不等实数根

则需

{m+1)/2>2

{Δ=(m+1)^2-8m>0

{4-2(m+1)+2m>0

==>

{m>3

{m^2-6m+1>0

==>

m>3+2√2