下列周期函数f（x）的周期为2π，试将f（x）展开成傅里叶级数 如果f(x）在[-π，π）上的表达

Question

下列周期函数f（x）的周期为2π，试将f（x）展开成傅里叶级数 如果f(x）在[-π，π）上的表达f（x）=3x²+1（-π≤x＜π）

Answer 1

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。
而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x²+1)dx=2(π²+1)。
an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x²+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n²。
bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。
∴f(x)=π²+1+12∑[(-1)^n/n²]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。
供参考。

追问

请问能具体写一下求a0的过程么

追答

详细过程是，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x²+1)dx=(1/π)(x³+x)丨(x=-π,π)=2(π²+1)。

追问

哦哦，我是问an的详细解答过程，打错了

追答

详细过程是，an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x²+1)cos(nx)dx=(6/π)∫(0,π)x²cos(nx)dx+(1/π)∫(-π,π)cos(nx)dx。
而，∫(0,π)x²cos(nx)dx=(1/n)x²sin(nx)丨(x=0,π)-(2/n)∫(0,π)xsin(nx)dx=(2/n²)xcos(nx)丨(x=0,π)-(2/n²)∫(0,π)cos(nx)dx=(2π/n²)(-1)^n-(2/n³)sin(nx)丨(x=0,π)=(2π/n²)(-1)^n，
∴an=12(-1)^n/n²。

追问

请问xsin（nx）=cos（nx）这是怎么来的呢

追答

分部积分法导出来的。参见一下书中解释就理解了。

追问

好的，谢谢啦

Answer 2

求证：f（x）=sinx的最小正周期为2π。哇，真简单！但是，不会证明……