1平方+2平方+3平方+....N平方 等于？我要解题过程

Question

给出解题思路

Answer 1

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证:（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

参考资料：http://baike.baidu.com/view/892600.html?wtp=tt

Answer 2

我记得我的初中数学老师讲过一个"阶差"的问题,就是说:一列数按照从小到大的顺序排列,然后用后面的数字减去前面的数字,这样每相邻的两个数字就能得到一个差,这就是上一列相邻两个数的阶差.然后再在这列数里面做阶差,就有得到了一列数......就这样反复,如果发现在做了某次阶差之后,得到了一列相等的数时,就数一数一共做了几次阶差,做了几次则这道题的通式就是一个几次函数.
比如你这列数是:1 5 14 30 55 91 .....
则做一次阶差后就是这样: 4 9 16 25 36 ... (5-1=4;14-5=9;30-14=16;..)
然后再做阶差: 5 7 9 11 .....
在做: 2 2 2 ......
这样,通过做了3次阶差就得到了一系列相等的数:2 2 2 ....
说明:"1 5 14 30 55 91 ....."这列数的通式肯定为一个3此函数.
即:S=a*N^3+b*N^2+c*N+d
当N=1时, S=1^2=1; 即:1^3*a+1^2*b+1*c+d=1 (1)
当N=2时, S=1^2+2^2=5; 即:2^3*a+2^2*b+2*c+d=5 (2)
当N=3时, S=1^2+2^2+3^2=14; 即:3^3*a+3^2*b+3*c+d=14 (3)
当N=4时, S=1^2+2^2+3^2+4^2=30; 即:4^3*a+4^2*b+4*c+d=30 (4)
这样我们就得到了一个4元1次方程组,然后用加减消元法解:(2)-(1)=(5);
(3)-(2)=(6);(4)-(3)=(7);(6)-(5)=(8);(7)-(6)=(9);...
最后就解出来了:a=1/3
b=1/2
c=1/6
d=0
所以,1^2+2^2+3^2+...+N^2 = 1/3 * N^3 + 1/2 * N^2 + 1/6 * N
你看一看对不对吧~

Answer 3

求^2就从^3入手,求^3就从^4入手,求^t就从^(t+1)入手

因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3=n^3+3n^2+2n+1
<一共有n个等式>
所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+……+^2)+3(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
所以3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3+3n^2+2n+1-a-3-[n(n+1)]/2-n
所以S(An)=1^2+2^2+……+n^2=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3=n(n+1)(2n+1)/6

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/34204198.html?fr=qrl

Answer 4

1^2+2^2+3^2+......+n^2

=1*1+2*(1+1)+3*(1+2)+...+n*(1+n-1)

=[1+2+3+...n]+[1*2+2*3+3*4+...+n*(n-1)]

=n(n+1)/2+(1/3)*[1*2*3-0*1*2+2*3*4-

1*2*3+...+(n-1)*n*(n+1)-(n-2)*(n-1)*n]

=n(n+1)/2+(1/3)*[(n-1)(n+1)*n]

=[n*(n+1)/6]*[3+2(n-1)]

=n*(n+1)*(2n+1)/6

Answer 5

1平方+2平方+3平方+....N平方
=n(n+1)(2n+1)/6
然后用数学归纳法可加以证明