求错位排列的公式

Question

求错位排列的公式，就是1号球不放在1号盒，2号球不放在2号盒，以此类推！ 我要的是只含有N的式子，我记得其中有阶乘，还有摇摆加减，其余的忘了，有急用。谢谢！！

Answer 1

给你看道几乎一样的题目五个编号为1~5的小球放进5个编号为1~5的小盒里面,全错位排列（即1不放1,2不放2,依次类推）一共有多少种放法这是著名的信封问题,很多著名的数学家都研究过瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸.把错装的总数为记作f(n).假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法.（2）b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把（除a之外的）份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种.总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种.a装入C,装入D……的n－2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}这是递推公式,令n＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题.f(1)=0f(2)=1f(3)=2f(4)=9f(5)=44答案是44种错位排列就是给自己的不算,来排列

Answer 2

设1，2，...，n的全排列b1，b2，...，bn的集合为A,
而使bi=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，
则Dn=|A|-|A1∪A2∪...∪An|.
所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.
注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。
由容斥原理：

Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|
=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!
=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)