求证向量 (a×b)·c=(b×c)·a

Question

求证向量 (a×b)·c=(b×c)·a

Answer 1

a=(a1,a2,a3);b=(b1,b2,b3);c=(c1,c2,c3)

a×b=| i j k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

所以：(a×b)·c=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)·(c1,c2,c3)
=a2b3c1-b2a3c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1

同理，(b×c)·a=b2c3a1-c2b3a1+b3c1a2-b1c3a2+b1c2a3-a2c1a3整理得
=b2c3a1+b3c1a2+b1c2a3-c2b3a1-b1c3a2-a2c1a3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
比较得：(a×b)·c=(b×c)·a

这么复杂的公式，我可是算了半天，打字都打累了，怎么着也得给我评个最佳吧

补充一点，向量的叉乘a×b得到的仍然是一个向量，它是一个与a和b向量都垂直的向量。
比较特殊的情况，如果a与b是垂直的话，c的大小更容易算，直接就是a的大小×b的大小。这在物理里面有很多实例

Answer 2

这个等式不是恒成立的。
(a×b)与(b×c)数量积是不带方向的。而后面乘的 c、a是有方向的。如果c和a的方向不同，等式就不会成立。
结合律在向量里是不能用的。
1楼的回答中：“（a×b)·c = [（x1，y1）(x2,y2)](x3,y3)
=(x1x2,y1y2)(x3,y3)
=(x1x2x3,y1y2y3)”有问题，两个坐标相乘得到的绝不会是一个新坐标，因为两个向量相乘的乘积是数值，不带有方向，用向量表示就以为着有方向，这是不正确的。

Answer 3

把三个向量的坐标设出来
比如
a =（a1,a2,a3）
b = (b1,b2,b3)
c = (c1,c2,c3)
通过向量的坐标运算
(axb).c=c1a2b3-c1a3b2+c2a1b3-c2a3b1+a1b2c3-a2b1c3
然后求出
(bxc).a
然后看他们的记过是相等
如果还有什么问题 q我914340587

上面说不是恒成立的人搞反了， 首先是叉乘，得到向量，再和后面的向量点乘，得到数量，上面的等式是可以成立的。

Answer 4

用坐标证明最简单：a＝（a1,a2,a3）.b＝（b1,b2,b3）,c＝（c1,c2,c3）

从混合积坐标计算公式：

（a×b）·c＝行列式
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|
|c1 c2 c3|＝[行列式性质。行对换两次]＝

|b1 b2 b3|
|c1 c2 c3|
|a1 a2 a3|＝（b×c）·a

Answer 5

设a = （x1，y1） b = （x2，y2） c = （x3，y3）
(a×b)·c = [（x1，y1）(x2,y2)](x3,y3)
=(x1x2 + y1y2)(x3,y3)
=((x1x2+ y1y2)x3,(x1x2 +y1y2)y3)
同理
(b×c)·a = (（x2x3 + y2y3)x1,(x2x3 + y2y3)y1）
所以
((x1x2+ y1y2)x3,(x1x2 +y1y2)y3)和(（x2x3 + y2y3)x1,(x2x3 + y2y3)y1）
不一定相等
即 (a×b)·c 不一定等于 (b×c)·a